Es Mayor K-functor la derivada functor de K0?

Question

Puede que sea una pregunta estúpida. Me pregunto si la derivada functor de functor K0 es Quillen Mayor K-functor?

Si no, hay alguna relación entre la derivada functor de K0(o satélites de K0-functor) y Quillen Mayor K-functor?

La motivación para hacer esta pregunta es si esta norma se mantiene, entonces Quillen mayor K-functor es universal.

Answer 1

Yo no creo que sea estúpido, pero supongo que depende de lo que quieres decir con "derivados functor." Esto es cierto en el sentido débil de que la K-teoría es, naturalmente, un espacio - o el espectro de valores de functor, y el $K_i$ es la i-ésima homotopy de este functor. Pero no parece ser el caso de que $K$-teoría es un derivado functor en el sentido de Cartan-Eilenberg.

Permítanme hablar de la cuestión de la universalidad de la $K$-teoría:

Voy a abusar de la terminología y se refieren a "categorías" cuando me refiero a las categorías de un tipo adecuado, con una adecuada añadido de la estructura --- por ejemplo, categorías exactas si quieres hacer Quillen K-teoría, Waldhausen categorías si quieres hacer Waldhausen K-teoría, Waldhausen $\infty$-categorías si usted desea hacer la K-teoría con ellos, etc. ...

Ahora bien, si uno traduce el sentido en que $K_0$ es universal como un abelian-grupo de valores de functor en "categorías" en el lenguaje de estable homotopy teoría, se llega a la característica universal satisfecho por la K-teoría como un espectro de valores de functor en "categorías".

Más precisamente, hemos aditivo $K_0$, denotado $K_0^{\oplus}$, el cual es el functor que asigna a cualquier "categoría" $\mathcal{C}$ el grupo de la finalización de la abelian monoid cuyos elementos son de isomorfismo (o equivalencia) de las clases de objetos de $\mathcal{C}$, donde la suma es $\oplus$. Este functor es "insuficiente" en el sentido de que podría haber algún exacta (o fibra) secuencias de $\mathcal{C}$ que $K_0^{\oplus}$ no puede ver.

Para solucionar esto, para cualquier categoría de"" $\mathcal{C}$, podemos construir una nueva "categoría" $\mathcal{E}(\mathcal{C})$ cuyos objetos son exactas secuencias. Esta "categoría", admite dos functors a $\mathcal{C}$ que enviar una secuencia exacta $[0\to A'\to A\to A''\to 0]$ a $A'$ o $A''$. Para cualquier functor $F$ a partir de categorías para abelian grupos, obtenemos un inducida por homomorphism $F\mathcal{E}(\mathcal{C})\to F\mathcal{C}\oplus F\mathcal{C}$. Digamos que $F$ divide exactamente las secuencias de $\mathcal{C}$ si esta de morfismos es un isomorfismo, y digamos que $F$ es aditivo si $F$ divide exactamente las secuencias de cada "categoría".

Ahora $K_0$ tiene las siguientes agradable universal de los bienes. Es el objeto inicial en la categoría de aditivos functors recibir una transformación natural de $K_0^{\oplus}$.

Ahora a traducir todo esto en un homotopy. Hemos aditivo K-teoría, denotado $K^{\oplus}$, el cual es el functor que asigna a cualquier "categoría" $\mathcal{C}$ el espectro correspondiente al grupo de la finalización de la $E_{\infty}$ espacio dado por la (nervio) subcategoría de $\mathcal{C}$ compuesto de la isomorphisms (o débil equivalencias), donde la suma es $\oplus$. Este functor es de nuevo "insuficientes" en el sentido de que podría haber algún exacta (o fibra) secuencias de $\mathcal{C}$ que $K^{\oplus}$ no puede ver.

Ahora para cualquier functor $F$ a partir de categorías a los espectros, se obtiene un inducida por homomorphism $F\mathcal{E}(\mathcal{C})\to F\mathcal{C}\vee F\mathcal{C}$. Digamos que $F$ divide exactamente las secuencias de $\mathcal{C}$ si esta de morfismos es una equivalencia, y digamos que $F$ es aditivo si $F$ divide exactamente las secuencias de cada "categoría".

Ahora $K$ tiene las siguientes homotopy universal de los bienes. Es el homotopy-objeto inicial en la categoría de aditivos functors recibir una transformación natural de $K^{\oplus}$.

Así la universalidad de la K-teoría no surge de pensamiento de los espíritus de K-grupos, sino más bien de la interpretación de las K-teoría como un espectro, y la reescritura de la característica universal de $K_0$ debidamente homotopical idioma.

(Referencias: Gonçalo Tabuada tiene un papel en el que se caracteriza a la K-teoría similar a la universal de los bienes, y Juan Rognes y he comenzado un papel similar en el contexto de Waldhausen $\infty$-categorías, un borrador incompleto de lo que está en mi página web).

Answer 2

No hay una definición debido a Sasha Rosenberg, de una variante de la expresión algebraica de K-teoría, que es universal, prácticamente por definición, y en el marco mucho más general que Quillen categorías exactas. Universal, me refiero a algo a lo largo de Cartan-Eilenberg y Tohoku. Él se define en primer lugar la noción de un derecho exacta de la estructura de una categoría, lo que es sólo una Grothendieck pretopology cuya cubre son los únicos que son estrictos epimorphisms. Ahora, la colección de todas las categorías pequeñas con derecho exacta de la estructura ha dejado estructura exacta, lo que es una doble noción (Grothendieck precotopology que...). Ahora él extiende el formalismo de Tohoku para definir universal delta functors delta o estrella functors (nunca se sabe que uno es el que) para la derecha o a la izquierda exacta de las estructuras. Así, se puede definir K-zero, por una parte, en la colección de todas las categorías con derecho exacta de las estructuras y tratar de extenderlo a un universal delta functor. Y no hay tal. En particular, Quillen exacta de las categorías tienen un derecho canónico estructura exacta. Ahora esta variante de la K-teoría tiene todas las otras propiedades estándar de Quillen K-teoría, como la resolución por devissage, exactitud y así sucesivamente. Pero no está claro si es igual o no a Quillen K-teoría, sin embargo (para esto uno debe evaluar Quillen receta en el inyectiva resolución por las categorías con derecho exacta de las estructuras; si uno se pone a cero, ¡voila!). El artículo de Rosenberg es en

A. Rosenberg, álgebra Homológica de no conmutativa 'espacios' I (pdf), 199 páginas, preprint Max Planck, Bonn: MPIM2008-91.

Answer 3

El algebraicas $K$-grupos de un conmutativa unital anillo de hecho puede ser definida como la derivada de functors, pero uno tiene que trabajar en el contexto de la no-abelian álgebra homológica en el sentido de A. Dold, D. Puppe, Homologie nicht-additiver Funktoren, Ann. Inst. Fourier 11 (1961), y M. Tierney, W. Vogel: Simplicial y resoluciones derivados de los functors, Matemáticas. Zeit. 111 (1969). Una introducción muy útil es dado en el libro `No abelian álgebra homológica y sus aplicaciones' por Hvedri Inassaridze (Kluwer, 1997).

Para un grupo de $G$, definir $\displaystyle Z_\infty (G)=\lim_{\leftarrow} G/\Gamma_i(G)$, donde $\{\Gamma_i(G)\}$ es la parte inferior central de la serie de $G$. Esto define un functor $Z_\infty: Gr\rightarrow Gr$. Ahora el Teorema 5.1 en el citado libro, aproximadamente, se lee como sigue:

Deje $L_*Z_\infty$ ser la izquierda derivados de functors de la functor $Z_\infty$. A continuación, $L_i Z_\infty(GL(R))$ es isomorfo a Quillen $K_i(R)$.