Demostrar formalmente que $H:=\langle x,y| x^2, y^n, yxyx^{-1} \rangle$ es una presentación de $D_{2n}$

Question

Quiero Demostrar formalmente que $H:=\langle x,y| x^2, y^n, yxyx^{-1} \rangle$ es una presentación de la $D_{2n}$. Para empezar, por la característica universal de la libre grupo, hay un grupo de homomorphism $\phi: H \to D_{2n}$. Entonces, para mostrar que el núcleo de $\phi$ es el menor subgrupo normal que contengan $x^2, y^n, yxyx^{-1}$. Estoy tan confundido en cuanto a cómo probar esto, ya que todas las fuentes que he encontrado nunca probar este directamente por definición. La mayoría de ellos aún no mencionar que necesitamos para demostrar esto. Pero no es esta la definición de la presentación del grupo?

Mi $D_{2n}$ se define como el grupo de simetrías de un $n-gon$, y se supone que yo sé $ D_{2n} = \{e, a, b, b^1, \ldots, b^{n-1}, ba, \ldots, b^{n-1}a\}$, donde $a^2 = e$, $b^n = e$ e $ab = b^{-1}a$.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que usted sabe que estos relatores son todos los necesarios (aunque en la teoría de algunos puede ser degenerada), como usted ha señalado, por lo que tenemos una surjective homomorphism $\phi: H\rightarrow D_{2n}$.

Tarea (de izquierda a lector). Mostrar que cada elemento de a$H$ puede ser escrita en la forma $y^ix^j$ para algunos enteros $i\in\{0, 1\}$ e $j\in\{0, 1, \ldots, n-1\}$.

Una vez que haya completado esta tarea, a continuación, el resultado de la siguiente manera, como se dice que $H$ ha pedido en la mayoría de los $2n$. Por lo tanto, como $\phi$ es surjective a un grupo con $2n$ elementos, $\phi$ debe de hecho ser bijective y así un isomorfismo.

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Mi uso de cardinalidades en el último párrafo es innecesario. Se puede ver claramente que es un bijection sin utilizar cardinalidades. Esta idea se generaliza a semidirect productos (y más para todas las extensiones, pero que es más complicado): Si $G=N\rtimes H$ e $H$ actúa en $N$ a través de la automorphism $\varphi\in\operatorname{Aut}(N)$ entonces $G$ tiene la relativa presentación* $\langle H, N\mid hnh^{-1}=\varphi(n)\rangle$, y que este es en realidad un pariente presentación de $G$ se confirma con las mismas ideas que el anterior.

*Para obtener una presentación para $G$ agregar en los generadores y los relatores por $N$ e $H$ en la esperemos manera obvia...