¿Qué sucede si matriz $A^2$ tiene una columna de cero?

Question

Permítanme asumir que $A$ es una matriz cuadrada y la matriz de $A^2$ tiene una columna de ceros. Es posible para mí para demostrar que tiene una columna de ceros. Sé que los factores determinantes son ambos cero, sin embargo no me ayudan. Supuse que la columna j es el cero de la fila y había [i,j] plazo $(a_{i1}*a_{1j}+a_{i2}*a_{2j}+...+a_{ij}*a_{ij}+...+a_{in}*a_{nj}=0)$ igual a cero. Me resumió para todos los $i$ en el rango de 1 y $n$, y trató de demostrarlo. Pero yo no era capaz de hacerlo. Hay algo que me estoy perdiendo?

Answer 1

<span class="math-container">$A^2$</span> Tiene una columna de ceros, no significa <span class="math-container">$A$</span> hace. Por ejemplo, <span class="math-container">$$\begin{bmatrix}1&-1\1&-1\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}0&0\0&0\end{bmatrix}.$ $</span>

Answer 2

Para obtener otros similares couterexamples que tener en cuenta

<span class="math-container">$$\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}a^2+bc&ab+cd\ac+dc&cb+d^2\end{bmatrix}$$</span>

y por ejemplo

• <span class="math-container">$a^2+bc=0 \implies a=i, b=1, c=1$</span>
• <span class="math-container">$ac+dc=0 \implies d=-i$</span>

para obtener

<span class="math-container">$$\begin{bmatrix}i&1\1&-i\end{bmatrix}^2=\begin{bmatrix}0&0\0&0\end{bmatrix}$$</span>