Fórmula del menor elemento del espectro

Question

Dejemos que $A$ sea un operador autoadjunto definido en un subconjunto denso de un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Supongamos que $A$ está acotado por debajo en el sentido de que hay $m \in \mathbb{R}$ tal que $$\langle Ax,x\rangle \geq m,~\forall x : \|x\| = 1.$$

Quiero demostrarlo: $$ m = \inf\{\lambda : \lambda \in \sigma(A)\} = \inf \{\langle Ax,x\rangle : \|x\| = 1\}.$$

Sé que si $E_A$ denota la única medida espectral que representa $A$ entonces $\mathrm{supp}~E_A = \sigma(A),$ de la que se desprende la primera igualdad. Por lo tanto, sólo queda demostrar la última igualdad. ¿Alguna pista?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $m=\inf\;\{ \lambda : \lambda\in\sigma(A) \}$ . Entonces, para cada entero positivo $n$ , $E_{A}[m,m+1/n] \ne 0$ . Por tanto, existe un vector unitario $x_n\in\mathcal{D}(A)$ tal que $E_{A}[m,m+1/n]x_n = x_n$ , lo que da \begin{align} 0 & \le \langle (A-mI)x_n,x_n\rangle \\ & = \int_{m}^{m+1/n}(\lambda-m) d\langle E(\lambda)x_n,x_n\rangle \\ & \le \frac{1}{n}\langle E[m,m+1/n]x_n,x_n\rangle \\ & \le \frac{1}{n}\langle x_n,x_n\rangle = \frac{1}{n}. \end{align}

Por lo tanto, $\lim_n \langle A x_n,x_n\rangle = m$ .

Answer 2

Para un operador autoadjunto, cada elemento del espectro es un valor propio aproximado . Eso demuestra su igualdad.