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Question

[ Nota: La siguiente pregunta fue hecha ayer, y obtuvo 3 votos. Desgraciadamente ha sido eliminado por el OP de la noche a la mañana sin recibir ninguna respuesta.]

Deje $f:\mathbb C \to \mathbb R$ ser un continuo valor real de la función. Supongamos que para todos los $z \in \mathbb C$, tenemos $|f(z)|\leq1$. Mostrar que

$$\left|\int_C f(z)\, dz\right|\leq4$$ where $C$ es el círculo unitario recorrido en sentido antihorario.

He utilizado esta relación, pero el más pequeño que puedo conseguir es $2\pi$: $$\left|\int f(z)\, dz\right| \leq \int |f(z)|\, |dz| \leq \sup |f(z)|\cdot L = 2\pi\sup |f(z)| = 2\pi$$

Answer 1

La función de $g(t):=f\bigl(e^{it}\bigr)\in[{-1},1]$ es $2\pi$-periódico. Por definición de la integral de línea de la parametrización de la $t\mapsto z(t):=e^{it}$ $(0\leq t\leq2\pi)$da $$\int_C f(z)\>dz=\int_0^{2\pi} g(t)\>ie^{it}\>dt=:i\rho \,e^{i\alpha}$$ para algunos $\rho\geq0$ e $\alpha\in{\mathbb R}$. Tenemos que probar que $\rho\leq4$. Para este fin de considerar $$\int_0^{2\pi}g(t+\alpha)e^{it}\>dt=\int_0^{2\pi}g(\tau)e^{i(\tau-\alpha)}\>d\tau=\rho\ .$$ Desde $g$ es un valor real, podemos concluir que, de hecho, $$\rho=\int_0^{2\pi} g(t+\alpha)\,\cos t\>dt\leq\int_0^{2\pi}\bigl|\cos t\bigr|\>dt=4\ .$$