Prueba $\lim_{p\to\infty} $ $\left\lVert x \right\rVert_p = \left\lVert x \right\rVert_\infty$

Question

¿Cómo se puede demostrar que

$\lim_{p\to\infty} $ $\left\lVert x \right\rVert_P = \left\lVert x \right\rVert_\infty$ se aplica a todos los $x \in \mathbb{R^n}$ ?

Sé que dos normas $\left\lVert \cdot \right\rVert_a$ y $\left\lVert \cdot \right\rVert_b$ en $\mathbb{R^n}$ son equivalentes, si hay constantes $c_1,c_2 > 0 $ de modo que para todos $x \in \mathbb{R^n}$ hay una cadena de inecuaciones

$c_1 \left\lVert x \right\rVert_a \leq \left\lVert x \right\rVert_b \leq c_2 \left\lVert x \right\rVert_a$

Creo que tengo que utilizar la inecuación anterior de alguna manera para demostrar lo primero, pero no sé cómo

Answer 1

Tenemos \begin {align} |x|_p =& \left [|x_1|^p+ \ldots +|x_i|^p+ \ldots +|x_n|^p \right ]^{ \frac {1}{p}} \\ =& \left [ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|^p} \left [ \left ( \frac {|x_1|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p + \ldots + \left ( \frac {|x_i|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p + \ldots + \left ( \frac {|x_n|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p \right ] \right ]^{ \frac {1}{p}} \\ =& \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|} \left [ \left ( \frac {|x_1|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p + \ldots + \left ( \frac {|x_i|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p + \ldots + \left ( \frac {|x_n|}{ \displaystyle\max_ {1 \leq k \leq n}{|x_k|}} \right )^p \right ]^{ \frac {1}{p}} \end {align} Utilizar una notación más corta $\|x\|_\infty=\displaystyle\max_{1\leq k\leq n}{|x_k|}$ , $$ \|x\|_p= \|x\|_\infty \left[ \left( \frac{|x_1|}{\|x\|_\infty} \right)^p +\ldots+ \left( \frac{|x_i|}{\|x\|_\infty} \right)^p +\ldots+ \left( \frac{|x_n|}{\|x\|_\infty} \right)^p \right]^{\frac{1}{p}} $$ Tenemos dos implicaciones.
Primero. $$ 0\leq \left(\frac{|x_1|}{\|x\|_\infty}\right)^p\leq 1, \ldots, 0\leq \left(\frac{|x_i|}{\|x\|_\infty}\right)^p\leq 1, \ldots 0\leq \left(\frac{|x_n|}{\|x\|_\infty}\right)^p\leq 1, $$ implica $$ \|x\|_p\leq \|x\|_\infty\sqrt[p]{n} \quad (\ast) $$ Segundo. $$ 1\leq \left[ \left( \frac{|x_1|}{\|x\|_\infty} \right)^p +\ldots+ \left( \frac{|x_i|}{\|x\|_\infty} \right)^p +\ldots+ \left( \frac{|x_n|}{\|x\|_\infty} \right)^p \right]^{\frac{1}{p}} $$ implica $$ \|x\|_\infty\leq \|x\|_{p}\quad (\ast\ast) $$ Poner las desigualdades $(\ast)$ y $(\ast\ast)$ juntos tenemos $$ \|x\|_\infty\leq \|x\|_{p}\leq \|x\|_\infty\cdot \sqrt[p]{n} $$ Una vez $\lim_{p\to\infty}\sqrt[p]{n}=1$ para todos $n\in\mathbb{N}-\{0\}$ tenemos $$ \lim_{p\to \infty} \|x\|_{p}=\|x\|_\infty $$