¿Cómo probar que$f(x) = 4x^{3} + 4x - 6$ tiene exactamente una raíz real?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $f(x) = 4x^{3} + 4x - 6$ tiene exactamente una raíz real?

Creo que la mejor manera es mostrar a $f'(x) = 12x^2 + 4 > 0$ para todos los $x \in \mathbb{R}$. Por lo tanto, $f'(x)$ cero, las raíces reales. Por lo tanto, $f(x)$ tiene al menos una raíz real.

Pensé en intentar demostrar que si $f$ es un polinomio y $f'$ ha $n$ raíces reales, entonces $f$ ha $n + 1$ raíces mediante el Teorema de Rolle o Valor medio Teorema, pero no creo que este hecho, en general, es cierto. Yo tendría que probar esta afirmación.

Por favor alguien puede ayudarme a demostrar este hecho?

Answer 1

Su intuición para la primera de ellas es la correcta!

$f(0)<0$ e $f(1)>0$, así que por IVT $f$ tiene una raíz decir $x_0$

Supongamos $f$ tiene otra raíz $x_1 \neq x_0$ con $x_0<x_1$ .A continuación, $f(x_0)=f(x_1)=0$ y por Rolles teorema $\exists$ $c \in (x_0,x_1)$ tal que $f'(c)=0$, contradiciendo el hecho de $f'(x)>0$

Answer 2

$f(x)=4x^3+4x-6$

$f(0)=-6$ e $f(-1)=-14$

Por IVT, existe al menos una raíz real, $x\in(-1,0)$ tal que $f(x)=0$

Ahora intenta demostrar mediante el uso de contradicción.

Si no, existe al menos $2$ raíces reales $x_1,x_2$, de tal manera que $f(x_1)=f(x_2)=0$

Desde $f(x)$ es diferenciable, mediante el Teorema de Rolle, existe un número $k\in(x_1,x_2)$ tal que $f^{\prime}(k)=0$. Pero $f^{\prime}(x)=12x^2+4>0\ \forall x\ne0$

Answer 3

Su $f'(x)$ es estrictamente positivo, lo que significa que su función está aumentando estrictamente. Una función estrictamente creciente no tiene más de una raíz real. Porque de lo contrario no va a ser uno a uno. En pocas palabras, con más de una raíz real, debe tener un punto de inflexión en algún lugar entre esas raíces, lo que hace que su función aumente o disminuya entre las raíces.

Answer 4

Peatón:

$f'(x)>0$ implica $f$ es estrictamente creciente, yo.e.para

$x_1 < x_2$ tenemos $f(x_1) < f(x_2)$.

Asumir una estrictamente creciente función tiene más de un cero.

Deje $x_1 < x_2$ ser $2$ ceros de la función:

$f(x_1)=f(x_2)= 0$.

Una contradicción.

P. S. Puede haber un doble cero si $f'(x) >0$?