¿Cuál es el límite de cero por x, cuando x se acerca al infinito?

Question

Tengo dificultades para determinar cuál es la solución para el siguiente problema:

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\left( x \times 0 \right)$$

Para aclarar, esta pregunta supone ${0}$ es una constante y es absolutamente cero ("cero verdadero"), y no otra cifra que se acerque o sea aproximadamente cero ("cercano a cero"). Por tanto, la pregunta no es qué es "cerca de cero" por "cerca de infinito".

Sé que ${\infty *0}$ es indefinido, sin embargo mi dificultad es que no estoy seguro de que la respuesta al problema sea indefinida porque ${\infty *0}$ es indefinido.

A mi entender, un límite no "alcanza" nunca el infinito, sólo se acerca al infinito, por lo que hay una cantidad racional de números. Como ${x\cdot 0=0}$ cuando x no es ${\infty}$ me parece que en todos los casos de $x$ acercándose al infinito la respuesta también podría ser ${0}$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $x$ tenemos $x\cdot 0=0$ y por lo tanto

$$\lim_{x\to\infty} (x\cdot 0) =\lim_{x\to\infty} 0=0$$

Answer 2

Como han dicho otros, $\lim_{x\to \infty} 0 \times x = \lim_{x\to\infty} 0 = 0$ . Voy a extenderme un poco más en " $0 \times \infty$ es indefinido".

No podemos hacer operaciones con $\infty$ directamente, como sabes. Pero podemos hacer operaciones con "funciones con límite $\infty$ ", y si se comportan lo suficientemente bien entonces eso podría darnos definiciones razonables de cosas como " $0 \times \infty$ ".

Sin embargo, si sustituimos $\infty$ por "funciones con límite $\infty$ ", entonces deberíamos hacer lo mismo con $0$ es decir, sustituir $0$ por "funciones con límite $0$ ". Esto es algo razonable, porque funciona para los números reales:

Para cualquier función $f(x)$ y $g(x)$ tal que $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ y $\lim_{x \to \infty} g(x) = b$ , donde $a$ y $b$ son números reales (es decir, finitos), se da el caso de que $\lim_{x \to \infty} (f(x)g(x)) = ab$ .

De hecho, es mejor que eso; si $a > 0$ es real entonces es razonable decir " $a \times \infty = \infty$ ":

Para cualquier función $f(x)$ y $g(x)$ tal que $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$ , donde $a$ es un número real y $a > 0$ y tal que $\lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$ entonces $\lim_{x \to \infty}(f(x)g(x)) = \infty$ también.

Sin embargo, si $f(x)$ y $g(x)$ son tales que $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ y $\lim _{x \to \infty} g(x) = \infty$ Entonces no sabemos nada sobre $\lim_{x \to \infty} f(x)g(x)$ . Si $g(x) = x$ , entonces tomando $f(x) = 0$ , $f(x) = a/x$ (donde $a > 0$ ), y $f(x) = 1/\sqrt x$ , da $\lim_{x \to \infty} (f(x)g(x))$ a ser, respectivamente, $0$ , $a$ y $\infty$ . Por eso decimos " $0 \times \infty$ " es indefinido.

Answer 3

Por cada $x\in \mathbf R$ tiene $0 \cdot x = 0$ . Utilizando esta definición dejamos que $f(x):= 0 \cdot x = 0$ por cada $x\in \mathbf R$ . Por lo tanto, tenemos $$ \lim_{x\to +\infty } x\cdot 0 = \lim_{x\to +\infty } f(x) = \lim_{x\to +\infty }0 =0$$ ¡de la definición del límite! No es necesario pensar en algo como $0 \cdot (+\infty)$ .

Answer 4

Dejemos que $f(x)=0\times x$ .

Entonces, la siguiente afirmación es verdadera:

Por cada $\epsilon > 0$ existe alguna $M\in \mathbb R$ tal que, para todo $x>M$ , $|f(x) - 0| < \epsilon$ .

Por lo tanto, por la definición de un límite podemos concluir que

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$

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Si quieres la prueba de la afirmación en amarillo de arriba:

Dejemos que $\epsilon > 0$ sea arbitraria. Entonces, dejemos que $M=1$ . Sea $x>M$ sea arbitraria. Entonces, $|f(x)-0| = |0\times x - 0| = |0-0|=0<\epsilon$ .

Answer 5

Cuando se evalúa un límite no hay que preocuparse por el valor de la función en el índice. En otras palabras, cuando se evalúa $$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x),$$ no es necesario que $f(x_0)$ a definir. Un límite indica la "mejor estimación" para $f(x_0)$ en función de su entorno. Tome la función $$f(x)=\frac{x-3}{x-3};$$ no es difícil ver que $f$ evalúa a 1 para cualquier $x$ excepto en el caso de $x=3$ donde no está definido. Basado en el entorno de $x=3$ es posible, sin embargo, dar un valor razonable a $f(3)$ . Puedes encontrar este valor utilizando un límite: $$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x-3}{x-3}=1$$ El límite da 1 ya que se puede obtener $f(x)$ arbitrariamente cerca de 1 eligiendo $x$ arbitrariamente cerca de $3$ (en este caso no importa realmente si te acercas, pero aún así).

Para relacionar esto con su pregunta: el límite es cero, porque para cada $x$ menor que el infinito tienes que $x\cdot 0$ está arbitrariamente cerca de $0$ . No importa si $\infty\cdot 0$ tiene sentido o no. Por eso los límites son tan útiles.