Ejemplo de un espacio métrico donde el diámetro de una bola no es igual al doble del radio

Question

¿Existe algún espacio métrico en el que el diámetro de una bola sea menor que el doble del radio?

Answer 1

Consideremos la métrica discreta $d$ en un conjunto $X$ :

$$d(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{if }x=y\\ 1,&\text{if }x\ne y\;. \end{cases}$$

Consideremos la bola de radio $r=1/2$ centrado en $x$

Entonces $B(x,r)=\{x\}$

Ahora, por definición, $\operatorname{diam} A = \sup\{ d(a,b) : a, b \in A \}$

Aplicándolo a nuestro caso en el que $A=B(x,r)$ tenemos un diámetro de $A$ igual a $0$

Answer 2

¿Qué tal el espacio métrico $[0,\infty)$ con la métrica estándar? El diámetro de la bola $B(0,1)$ es $1$ no $2$ (que sería el doble de su radio)

Answer 3

Esta es una elaboración de la respuesta de @user10354138.

Considere una función $d: X \times X \to [0,\infty)$ que es definida, simétrica y satisface la desigualdad ultramétrica $$ d(x,y) \leq \max\{ d(x,z),d(z,y) \}\qquad \text{for all } x,y,z \in X \tag{$ * $} $$ en lugar de la desigualdad triangular habitual. Dado que $\max\{ d(x,z) , d(z,y) \} \leq d(x,z) + d(z,y)$ vemos que ese $d$ es efectivamente una métrica.

Un espacio $X$ equipado con una métrica que satisface $(*)$ tiene una topología que se comporta de forma contraintuitiva en muchos aspectos. Por ejemplo, cada punto de una bola es su centro . Precisamente, si $x \in X$ y $r > 0$ , entonces para cada $y \in B(x,r)$ tenemos $B(x,r) = B(y,r)$ .

Para demostrarlo, supongamos que $y \in B(x,r)$ como en el caso anterior. Supongamos que $z \in X$ tal que $z \in B(y,r)$ . Queremos demostrar que $z \in B(x,r)$ . Por la desigualdad ultramétrica y la definición de bola abierta, tenemos $$d(x,z) \leq \max\{ d(x,y), d(y,z) \} < \max\{ r, r \} = r.$$ Así que, $B(y,r) \subseteq B(x,r)$ . Desde $x$ y $y$ fueran arbitrarias, la otra contención también es cierta, por lo que $B(x,r) = B(y,r)$ como se iba a demostrar.

¿Qué significa esto en el contexto de los diámetros? Bueno, $diam(B(x,r)) = \sup\{ d(x,y) : x,y \in B(x,r) \}$ . Dado que cada punto de $B(x,r)$ es su centro, $d(x,y) < r$ para todos $x,y \in B(x,r)$ . Por lo tanto, $diam(B(x,r)) \leq r$ Así que el diámetro no es más que el radio.

De hecho, ¡no existe ninguna bola abierta en este espacio métrico cuyo diámetro sea el doble de su radio!

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Por supuesto, toda esta teoría no tendría sentido si resultara que no existe una métrica que satisfaga $(*)$ . Afortunadamente, hay un montón de métricas que satisfacen $(*)$ y a continuación presentaré algunas de ellas.

Dejemos que $X = \mathbb{Q}$ y que $p \in \mathbb{N}$ sea primo. Escribe $m/n \in \mathbb{Q}$ como $$ \frac mn = p^k \frac{m'}{n'}, $$ donde $k \in \mathbb{Z}$ y $\gcd(m',p) = 1 = \gcd(n',p)$ . Esto puede hacerse porque $\mathbb{Q}$ es el campo cociente de $\mathbb{Z}$ que es un dominio de factorización único.

Por un valor absoluto en un campo $\mathbb{F}$ nos referiremos a una función $| \cdot | : \mathbb{F} \to [0,\infty)$ que es definida, multiplicativa y satisface la desigualdad del triángulo. Definimos el $p$ -Valor absoluto de la adicción $| \cdot |_p$ en $\mathbb{Q}$ por $$ \left| \frac mn \right|_p = p^{-k}, $$ donde $m/n = p^k (m'n')$ como en el caso anterior. Es fácil comprobar que esto satisface todas las propiedades de un valor absoluto. De hecho, satisface una desigualdad más fuerte que la desigualdad del triángulo, que recuerda mucho a $(*)$ : $$ | x + y |_p \leq \max\{ |x|_p,|y|_p \} \qquad \text{for all } x,y\in \mathbb{Q}.\tag{$\dagger$} $$ Esto también se llama el desigualdad ultramétrica .

Ahora, cualquier valor absoluto induce una métrica por $d(x,y) = |x - y|$ . La métrica inducida por el $p$ -El valor absoluto de los radicales se denomina $p$ -Métrico y gracias a $(\dagger)$ el $p$ -La métrica de los ádicos satisface $(*)$ . Así, para cada primo $p \in \mathbb{N}$ , tiene una métrica en $\mathbb{Q}$ para los que el diámetro de una bola no es igual al doble del radio.

El $p$ -La métrica de los ádicos es en realidad un objeto importante en la teoría de los números, por lo que $(\mathbb{Q},| \cdot |_p)$ es un ejemplo de espacio que surge de forma natural y es una respuesta prototípica a su pregunta.

Answer 4

Cualquier espacio ultramétrico haría, por ejemplo, la métrica discreta sobre cualquier conjunto, o $\mathbb{Z}$ con el $p$ -Métrico.

Answer 5

Un ejemplo bastante común que no es del todo trivial es la métrica de British Rail en $\mathbb{R}$ , donde $d(x,y) = |x| + |y|$ (o $0$ para $x=y$ ), por lo que $B(x, r)$ tiene diámetro 0 para $x<r$ , diámetro $r$ para $x<r<2x$ y el diámetro $2(r-x)$ para $r>2x$ .