¿Por qué es la cantidad de formas de elegir$0$ elementos de$n$ elementos$1$?

Question

Parece fácil comprender que el número de maneras de elegir $n$ elementos de $n$ elementos es 1. Pero no puedo entender por qué es 1 para elegir 0 elementos.

Answer 1

Cuando usted frase en inglés simple, la respuesta no necesariamente es totalmente claro. Podría parecer razonable argumentar que no se $0$ formas de elección de $0$ cosas de $n$, desde la elección de $0$de las cosas no es realmente una opción. Sin embargo, cuando los matemáticos hablan de "el número de formas de elegir los $0$ de $n$", nos referimos a algo un poco más específico.

Un par de maneras de describir lo que queremos decir:

1. El número de subconjuntos de un $n$-elemento de conjunto con $0$ elementos (y siempre asumimos que el conjunto vacío cuentas)
2. El número de funciones de una $0$-elemento del conjunto a un $n$-element set, hasta permutaciones de dominio (no es exactamente una función del conjunto vacío a cualquier conjunto).
3. El coeficiente de $x^0y^n$ en la expansión del binomio $(x+y)^n$.

Todas estas de acuerdo en que hay una manera de elegir a $0$ de $n$ cosas, y todas estas perspectivas son matemáticamente muy útil. Por lo tanto, la perspectiva de que hay una manera de elegir a $0$ de $n$ cosas es universal en matemáticas.

Esto no siempre fue tan evidente para todo el mundo: por ejemplo, he oído hablar de los principios del siglo 20 matemático que insistió en sus libros que todas las intersecciones ser no vacío para ser definido. A mí me parece que esto sería consistente con la de negarse a aceptar el conjunto vacío como un subconjunto, y con decir que hay $0$ formas de elegir los $0$ cosas de $n$. Pero esto haría para un montón de inconvenientes circunlocuciones, por lo que hemos resuelto muy firmemente en la otra solución.

Answer 2

Tal vez un poco de la dualidad argumento puede ayudar a proporcionar algo de intuición.

Le dio una bolsa de $n$ bolas, considere estas dos tareas:

1. elija $k$ bolas en el interior de la bolsa y retire ellos de la bolsa
2. elija $n-k$ bolas en el interior de la bolsa y retire todos los demás de la bolsa

La intuición sugiere que estas tareas son esencialmente los mismos: la elección de cual $k$ bolas que quitar corresponde a la elección de cual $n-k$ bolas que tenemos en la bolsa.

De hecho, hay muchas maneras de elegir a$k$ bolas (eliminar) ya que hay para elegir $n-k$ bolas (mantener).

En particular, para determinar cuántas maneras tenemos que elegir (y quitar) $0$ bolas, equivalentemente, podemos contar cuántas maneras tenemos que elegir (y mantener) $n-0=n$ bolas. En su pregunta, usted está de acuerdo en que hay sólo una manera de elegir a $n$ bolas de $n$. Por lo tanto, "una manera de elegir lo que para mantener" puede ser reformulado como "una forma de elegir qué quitar".

Answer 3

Bueno, ya que es posible elegir 0 elementos de $n$ , debe haber al menos una forma de hacerlo. Y todas las formas de hacerlo son las mismas (lo admito, esta parte es más difícil de formalizar), por lo que hay como máximo una forma.

A modo de comparación, no hay forma de elegir los elementos $n+1$ de $n$ y equivalentemente ${n \choose n+1} = 0$ .

Answer 4

Ya hay varias buenas respuestas. Voy a intentar una explicación intuitiva. Si hay cuatro artículos posibles para comprar y varias personas no encuentran ninguno de ellos lo suficientemente atractivo, cada uno saldrá de la tienda con el mismo contenido en su bolsa de compras. No se pueden distinguir las bolsas (suponiendo que no sean personalizadas ...). Solo hay una forma de comprar nada.

Answer 5

Su pregunta es equivalente a preguntar "cuántos subconjuntos de un conjunto de tamaño de $n$ elementos tienen $0$ elementos en él" y solo tenemos $\emptyset$ .