¿Los puntos racionales son densos en cada círculo del plano de coordenadas?

Question

¿Los puntos racionales son densos en cada círculo del plano de coordenadas?

Lo primero que sé es que los puntos racionales son densos en el círculo de la unidad. Sin embargo, no estoy tan seguro de cómo mostrar que los puntos racionales no son densos en cada círculo.

¿Cómo se puede responder a esto? Cualquier acierto es apreciado.

Answer 1

No lo son. No hay dos círculos diferentes centrados en el origen que contengan los mismos puntos. Hay un número incontable de círculos (concretamente, uno por cada número real, correspondiente al radio) , por lo que la mayoría de los círculos no contienen ningún punto racional.

Podemos encontrar algunos ejemplos más concretos. En concreto, cualquier punto racional $(a, b)$ en un círculo de radio $r$ centrada en el origen satisface $a^2+b^2=r^2$ . En particular, $r^2$ debe ser racional. También hay radios cuyos cuadrados son racionales donde no hay puntos racionales. Despejando denominadores, digamos multiplicando por algún $c^2$ para hacerlo, tenemos que $c^2r^2$ es una suma de dos cuadrados. Si $r^2$ es un número entero, entonces $r^2$ debe ser una suma de dos cuadrados, ya que un número entero es una suma de dos cuadrados si y sólo si su factorización primaria no contiene una potencia impar de un primo congruente a $3$ mod $4$ . $r^2$ era arbitraria, por lo que si elegimos que no sea una suma de dos cuadrados obtenemos círculos sin puntos racionales.

Answer 2

En particular, $x^2+y^2=3$ no puede tener ningún punto racional. Si tuviera algún punto de este tipo, entonces habría números enteros $a,b,c$ que no tienen un factor común tal que $(a/c)^2+(b/c)^2=3$ por lo tanto $a^2+b^2=3c^2$ . Pero sin un factor común, al menos uno de $a,b,c$ debe ser impar y todas las posibilidades que cumplen con este requisito fallan $\bmod 4$ .

Answer 3

Para detallar un poco más la respuesta de Oscar, la razón por la que podemos exigir que $a,$ $b$ y $c$ son coprimas es que si $$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + \left(\frac{c}{d}\right)^2 = 3,$$ podemos escribir $$(ad)^2 + (bc)^2 = 3 (bd)^2.$$ Por lo tanto, $(ad)^2 = b^2(3 d^2 - c^2),$ así que $b^2$ divide $(ad)^2$ y $b$ divide $ad$ .

Con esto, podemos escribir $ad = bk$ y dividir el $b^2$ de ambos lados, consiguiendo $$k^2 + c^2 = 3d^2,$$ en este punto podemos aplicar el $\mod 4$ argumento.

Además, este ejemplo es necesario para dar cuerpo a la respuesta de Matt: termina con

Entonces $r^2$ debe ser una suma de dos cuadrados, lo que no es cierto para todos los enteros.

Sin embargo, en su configuración, requerimos que $r$ satisface " $r^2 \in \mathbb{N}$ pero $r^2 k^2$ no es una suma de dos cuadrados para todo $k \in \mathbb{N}$ y no está claro que tal $r$ existe hasta que se establece un ejemplo como $3$ .

Answer 4

¿Cuándo habrá un subconjunto denso de puntos racionales en un círculo?

Si $x^2+y^2=r^2$ tiene cualquier punto racional, entonces los puntos racionales en él son densos en él.

De forma más general, son equivalentes sobre una circunferencia (no degenerada) en $\mathbb R^2:$

1. El conjunto de puntos racionales de una circunferencia son densos en la circunferencia
2. El círculo tiene un centro racional y un punto racional
3. El círculo tiene tres puntos racionales.

Voy a explicar por qué $2\implies 1.$ Podemos suponer que el centro de su círculo es $(0,0).$ Su círculo tiene una ecuación como:

$$x^2+y^2=r^2$$

Como tiene un punto racional, también significa $r^2$ es racional.

Ahora bien, si $(x_1,y_1)$ es tu punto racional, toma cualquier línea que pase por ese punto con una pendiente racional, $m.$ Entonces el conjunto de pares $(x_1+t,y_1+mt)$ (excepto cuando $m$ es la tangente del círculo en $(x_1,y_1)$ ) golpea de nuevo el círculo. Pero eso produce una ecuación cuadrática racional para $t$ con una raíz racional conocida, $t=0.$ Así que la otra raíz $t$ también es racional, y el otro punto es racional.

$3\implies 2$ es porque encontrar el circuncentro de tres puntos es un proceso lineal.

Y $1\implies 3$ porque $(1)$ significa que hay infinitos puntos racionales en el círculo, por lo que al menos $3.$

Answer 5

En primer lugar, quiero dar las gracias a @Hidaw por haber respondido a una pregunta tan interesante, que rondaba por mi cabeza hace unos días. Después de leer con mucho gusto todas las respuestas a este post, descubrí que Humke y Krajewski resolvieron completamente el problema en un artículo muy sencillo y bonito de la American Mathematical Monthly en 1979 (¡unos años antes de que yo naciera!) llamado Caracterización de los círculos que contienen puntos racionales .

En particular, establecen el resultado muy relevante de que si el radio $r$ es irracional, pero $r^2=p/q$ con $p, q \in \mathbb{Q}$ , entonces el círculo $C$ de la ecuación $x^2+y^2=r^2$ no contiene ningún punto racional si $pq$ no es la suma de dos enteros cuadrados, mientras que $\mathbb{Q}$ es denso en $C$ si $pq$ es la suma de dos enteros cuadrados.