Conjetura ${\large\int}_0^\infty\left[\frac1{x^4}-\frac1{2x^3}+\frac1{12\,x^2}-\frac1{\left(e^x-1\right)x^3}\right]dx=\frac{\zeta(3)}{8\pi^2}$

Question

Me encontré con el siguiente integral y aproximaciones numéricas de tentativamente sugieren que podría haber una simple forma cerrada:

$${\large\int}_0^\infty\left[\frac1{x^4}-\frac1{2x^3}+\frac1{12\,x^2}-\frac1{\left(e^x-1\right)x^3}\right]dx\stackrel{\color{gray}?}=\frac{\zeta(3)}{8\pi^2}\tag{$\diamante$}$$ (Actualización: he arreglado un error tipográfico: sustituye $4\pi^2$ $8\pi^2$ en el denominador)

Sólo tengo acerca de $800$ dígitos decimales que de acuerdo con la conjetura de valor, calculado usando Mathematica. Por desgracia, sus algoritmos numéricos se vuelven inestables cuando trato de aumentar la precisión. Arce se niega a evaluar numéricamente esta integral por completo.

Obviamente, los tres primeros términos de el integrando tiene primaria antiderivatives, pero yo no era capaz de encontrar una forma cerrada antiderivada (primaria o uso de conocidas funciones especiales) para la última.

Estoy pidiendo su ayuda para demostrar (o refutar) la $(\diamond)$.

Answer 1

¿Qué acerca de la transformada de Laplace? Mediante el uso de ella, tenemos que nuestra integral es igual a:

$$I= \frac{1}{36}\int_{0}^{+\infty}\left(1-3 s+6 s^2-6 s^3 \psi'(1+s)\right)\,ds$$ y en esta forma Mathematica es perfectamente capaz de decir que $I=\frac{\zeta(3)}{\color{red}{8}\pi^2}$.

Acabo de utilizar: $$\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{x^4}\right)=\frac{s^3}{6},\qquad \mathcal{L}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}-\frac{x}{e^x-1}\right)=\frac{1-3 s+6 s^2}{6 s^3}-\psi'(1+s)$$ junto con: $$\int_{0}^{+\infty}f(x)g(x)\,dx = \int_{0}^{+\infty}(\mathcal{L} f)(s)(\mathcal{L}^{-1}g)(s)\,ds.$$

Answer 2

$$\text{for} \ \ \Re(s) > 1 : \qquad \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx = \Gamma(s) \zeta(s)$$ $\Gamma(s) \zeta(s)$ es meromorphic para que podamos saltar fácilmente de otros polos que están en$1,0,-2n+1$$n \in \mathbb{N}^*$.

el polo en $s=1$ es de residuo $1$, por lo que :

$$\text{for} \ \ \Re(s) \in ]0;1[ : \qquad \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} - x^{s-2} dx = \Gamma(s) \zeta(s)$$

el polo en $s=0$ es de residuo $\zeta(0) = -1/2$, por lo que :

$$\text{for} \ \ \Re(s) \in ]-1;0[ : \qquad \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} - x^{s-2} +\frac{x^{s-1}}{2} dx = \Gamma(s) \zeta(s)$$

el polo en $s=-1$ es de residuo $-\zeta(-1) = 1/12$, por lo que : $$\text{for} \ \ \Re(s) \in ]-3;-1[ : \qquad \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1} - x^{s-2} + \frac{x^{s-1}}{2} - \frac{x^{s}}{12} dx = \Gamma(s) \zeta(s)$$

y, finalmente, cuando $s \to 0$ : $\Gamma(s-2) \approx \frac{1}{2s}$ y $\zeta(s-2) \approx s \zeta^{\prime}(-2) = -s\frac {2} {2 (2\pi)^{2}} \zeta (3)$, de modo que su integral es $$\lim_{s\to 0} - \Gamma(s-2) \zeta(s-2) = \frac { \zeta (3)} {8 \pi ^2}$$

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function#The_gamma_function_in_the_complex_plane

https://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_Riemann_zeta_function

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_z%C3%AAta_de_Riemann#Expression_int.C3.A9grale