¿Siempre es posible definir una topología en un espacio del vector dotar una semi norma?

Question

Si $(X,|\cdot|)$ es un espacio vectorial normado de semi.

¿Siempre es posible definir una topología en $X$? Si es cierto ¿cuál es la definición de un subespacio cerrado de $X$ con respecto a los $|\cdot|$?

Supongo que un subespacio $M$ $X$ es cerrado con respecto a la semi-norma $|\cdot|$ si y sólo si cada $(x_n)_n\subset M$ tal que $|x_n-x|\to 0$ y $x\in M$.

Answer 1

Un semi-norma $p$ directamente induce una topología: las vecindades de un punto de $x$ son conjuntos de $U(x, r) = \{y:p(x-y)<r\}$. La topología que se le da a los conceptos abiertos y conjuntos cerrados. Y sí, un subespacio cerrado $M$ puede ser caracterizada por secuencias: $M$ es cerrado iff $p(x_n, x)\to 0$ $x_n\in M$ implica $x\in M$.

Sin embargo, por encima de la topología no es Hausdorff menos $p$ es una norma. De hecho, en cada barrio de $0$ contiene el conjunto de $\{x:p(x)=0\}$. Como Wikipedia notas,

Un localmente convexo espacio es Hausdorff si y solo si se ha separado de la familia de seminorms. Muchos son los autores de la Hausdorff criterio en la definición.

El punto es, no hay mucho que hacer con el espacio en su forma actual. Si usted está dispuesto a tomar el cociente $X/\{x:p(x)=0\}$, que es una manera de rectificar la situación; el cociente es Hausdorff.

Pero creo que no hay ningún canónica de manera de obtener una Hausdorff la topología en un seminormed espacio de $X$ sí. A ver una pregunta relacionada con el Giro de una semi-norma en una norma.