Demostrar que .

Question

<blockquote> <p>Si $n > 3$ y $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son los números reales positivos con $a_1a_2\cdots a_n = 1$, demostrar que $$\dfrac{1}{1+a_1+a_1a_2}+\dfrac{1}{1+a_2+a_2a_3}+\cdots+\dfrac{1}{1+a_{n-1}+a_{n-1}a_n}+\dfrac{1}{1+a_n+a_na_1}>1.$ $</p> </blockquote> <p>Me cuesta hacer cualquier desigualdades ya que tenemos que demostrar más las desigualdades como AM-GM y $>1$ $\geq 1$ uso de Cauchy-Schwarz. Por otra parte parece que si puedo comprobar que cada fracción es $>1$ que puede ayudar, pero no estoy seguro.</p>

Answer 1

Que $ai=\frac{x{i+1}}{xi}$, donde $x{n+1}=x1$, $x{n+2}=x_2$ y % todos $xi>0$. Por lo tanto, $\sum\limits{i=1}^{n}\frac{1}{1+a_i+aia{i+1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{x_i}{xi+x{i+1}+x{i+2}}>\sum\limits{i=1}^{n}\frac{x_i}{x_1+x_2+...+x_n}=1$