Encontrar el límite superior para la función de $C^1$

Question

Supongamos $\phi: \mathbb R^m\to \mathbb R^m$ $C^1$ y $s \in \mathbb R^n$. Deje $J\phi(x)$ el valor del Jacobiano de $\phi$$x$, el que se supone para ser invertible para cualquier $x\in \mathbb R^m$.

Ahora, para los distintos $a,b\in \mathbb R^m$$F(a,b)= \frac{ \mathbf{\phi}({a})-\mathbf{\phi}({b})-J\mathbf{\phi}({b})({a}-{b})}{\|{a}-{b}\|}$.

Considerar las coordenadas de los mapas de $F=(F_1, \ldots, F_m)$.

Quiero mostrar que la $|F_i(a,b)|\leq \frac{K}{2m}$ por cada $i=1, \ldots, m$ on some neighborhood of $s$.

Creo que el $|F_i(a,b)|=\frac{\Big |\phi_i(a)-\phi_i(b)-\Big(\sum_{i=1}^m (a_i-b_i)\frac{\partial \phi_1}{\partial x_i}\Big )\Big|}{\|a-b\|}$ donde $\phi$ está escrito en coordenadas como $(\phi_1, \ldots, \phi_n)$ $\frac{\partial \phi_1}{\partial x_i}$ denota el parcial de $\phi_1$ con respecto al $i$-ésima variable $x_i$.

Agradecería si alguien pudiera explicar la prueba.

ACTUALIZACIÓN: hay algo confusos o que no tiene sentido acerca de mi pregunta? Estoy un poco sorprendido de que se ha recibido ninguna respuesta, ya que no muy bien puede ser una simple respuesta que me estoy perdiendo.

Answer 1

Puesto que es $\phi$ $C^1$ dado de la clase $\varepsilon =\frac{K}{4m}$ allí existe $\delta>0$ tal que $\Vert J\phi(a)-J\phi(s)\Vert\le \frac{K}{4m}$ % todos $a\in B(s,\delta)$. Tomar el $a,b\in B(s,\delta)$ $a\ne b$. Por el teorema del valor medio (aplicado a lo largo del segmento que une $a$ $b$ tenemos $\phi_i(b)-\phi_i(a)=\nabla \phi_i(c_i)\cdot (b-a)$ y tan % $ $$F_i(b,a)=\frac{ (\nabla \phi_i(c_i)-\nabla \phi_i(b))\cdot (b-a)}{\Vert b-a\Vert}$(su fórmula $F_i$ no es correcto). A su vez, $$|F_i(b)|\le \Vert \nabla \phi_i(c_i)-\nabla \phi_i(b)\Vert\le \Vert J\phi(c_i)-J\phi(b)\Vert\le \Vert J\phi(c_i)-J\phi(s)\Vert+\Vert J\phi(s)-J\phi(b)\Vert\le \frac{K}{2m}.$ $