Aplicación del principio de Arquímedes

Question

Una vela flota en un líquido colocado en un recipiente. El recipiente es un cilindro de diámetro $D$ y la vela tiene una anchura $d$ . ( $D>d$ ) La altura del líquido desde el fondo del recipiente es $p$ y la altura de la llama de la vela desde el fondo es $h$ . La densidad del material de la vela es $p_c$ y la del líquido es $p_l$ .

Si la longitud de la vela cambia en $\Delta L$ encontrar el cambio en el nivel del líquido $\Delta p$ y el cambio en la altura de la llama $\Delta h$ .

Mi intento:

Estoy tratando de usar el principio de Arquímedes. Supongamos que $x$ es la altura de la vela sumergida cuando su longitud es $L$ . Luego, equilibrar las fuerzas gravitacionales y de flotación, $$p_c \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 L g = p_l \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 x g$$

Así que $$x = \frac{p_c}{p_l}L$$

Ahora supongamos que la longitud de la vela cambia por $\Delta L$ , haciendo que la altura del líquido cambie en $\Delta h$ . Yo escribí: $$p_c \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 (L+\Delta L) g = p_l \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 (x+\Delta p) g$$

Lo que da $$\Delta p = \frac{p_c}{p_l}\Delta L$$

Aquí asumí que el cambio en el nivel del líquido contribuiría a una fuerza de flotación adicional. Sin embargo, no estoy obteniendo la respuesta correcta, que implica $D$ también. Así que no estoy seguro de cómo utilizar el Principio de Arquímedes para el caso requerido. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Bueno, a continuación se da mi intento asumiendo lo que entendí de su pregunta. Tienes razón hasta $$x=p_c/p_l L$$ es decir $$\Delta x=p_c/p_l\Delta L$$ Después tenemos que encontrar una relación entre $\Delta p$ y $\Delta x$

antes del cambio y después de que el volumen del líquido permanezca constante.

$$\pi D^2p-\pi d^2x=\pi D^2(p-\Delta p)-\pi d^2(x-\Delta x)$$

resuelve esto y obtendrás $\Delta x=D^2/d^2 \Delta p$

Eso es lo que creo que debería ser la respuesta en base a lo que he entendido en su pregunta.