Si , , demostrar eso

Question

He estado trabajando tratando de entender la siguiente pregunta:

Sea n un entero positivo, deje que$F$ sea un campo y deje que$A \in \mathrm{Mat}(n,F)$ satisfaga la condición$A=AA^{\top}$. Muestra esa $A^2=A$.

No he avanzado mucho ya que mi conocimiento es bastante básico, pero me encontré con este enlace y me preguntaba si este ejemplo era esencialmente el mismo.

Ejemplo

Answer 1

Desde$A^T = (AA^T)^T = AA^T = A$, tienes$A^2 = AA = AA^T = A$

Answer 2

obtén transposición de$A=AA^T$ por lo tanto tenemos$A^T=AA^T$ y por lo tanto tenemos$A=A^T$ y probamos que$A=A^2$

Answer 3

$AA^T=A$

$A$ de LHS a RHS

$A^T=AA^{-1} \Rightarrow A^T=I\Rightarrow A=I$

$I^2=I \Rightarrow A^2=A$

Edición: solo funciona, si$det \ A\neq 0$