¿Cómo se obtiene la ecuación del movimiento en una elipse?

Question

Me gustaría demostrar que una partícula que orbita alrededor de otra seguirá la trayectoria

$$\begin{equation} r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos(\theta)}. \end{equation}$$

Me gustaría hacerlo con un mínimo de supuestos. ¿Algún consejo? He leído que no es más que la ecuación de una elipse, definida desde el foco de la misma. Pero no me basta con tomar el resultado, es decir, ¿por qué debo suponer que las órbitas son elípticas? Supongo que debería ser derivable a partir de consideraciones de energía y momento angular...

Answer 1

Para el problema de los dos cuerpos:

En cualquier marco inercial, aplicando la regla de Newton 2 nd ley, escribimos: $$m_1 \ddot{\vec{r_1}} = \frac{-Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$$ $$m_2 \ddot{\vec{r_2}} = \frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$$

Como derivación lateral, se pueden sumar las dos derivaciones anteriores para obtener el hecho de que el momento lineal total del sistema es constante, pero por ahora seguimos adelante.

Para obtener el movimiento relativo, reste las ecuaciones de $\vec{r_1}$ y $\vec{r_2}$ y obtener: $$\ddot{(\vec{r_1}-\vec{r_2})} = -(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2})\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$$

Definir "masa reducida $\mu$ como $$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$$

Entonces tenemos $$\mu \ddot{\vec{r}} = \frac{-Gm_1m_2}{r^2}\hat{r}$$

Reordenando la ecuación anterior, podemos reescribirla: $$\ddot{\vec{r}} = \frac{-G(m_1+m_2)}{r^2}\hat{r} = \frac{-\alpha}{r^2}\hat{r}$$

Tenemos nuestras ecuaciones listas con nosotros. Ahora, las resolvemos. Pero ten en cuenta que las cantidades $J$ (momento angular) y $E$ (energía total) se conservan definidos como sigue. Puedes comprobar fácilmente este hecho. $$\vec{J} = \mu \vec{r} \times \dot{\vec{r}}$$ y $$E = K+V = \frac{1}{2} \mu \dot{\vec{r}}^2 - \frac{Gm_1m_2}{r}$$

¿Cómo sabes que el movimiento es en el plano? Desde, $\vec{J}$ es siempre perpendicular al plano del movimiento y es constante, el movimiento es en un plano. Dividir el movimiento en componentes, $$\ddot{x} = \frac{-\alpha}{r^3}x \ , \ \ddot{y} = \frac{-\alpha}{r^3}y$$ y $$r^2 = x^2 + y^2$$ y $$J = \mu(x\dot{y}-y\dot{x})$$

Resolviendo las tres ecuaciones anteriores (lo dejo al lector), obtenemos: $$\ddot{r} = \frac{-\alpha}{r^3} + \frac{J^2}{\mu^2 r^3}$$

Nuestro interés está en la ecuación de la órbita $r(\theta)$ . Tenga en cuenta que $$\dot{\vec{r}} = \dot{r}\hat{r} + r \omega \hat{\theta}$$ lo que implica $$\vec{J} = \mu r^2 \omega \hat{z}$$ o $$J = \mu r^2 \omega$$ Ahora, la acción $$\frac{dr}{dt} = \frac{dr}{d \theta}\frac{d \theta}{dt} = \frac{dr}{d \theta} \omega = \frac{dr}{d \theta}\frac{J}{\mu r^2}$$ y luego $$\frac{d^2r}{dt^2} = \frac{d^2 r}{d \theta^2}(\frac{J}{\mu r^2})^2 - \frac{2}{r^3}\frac{J}{\mu}\frac{J}{\mu r^2}(\frac{dr}{d \theta})^2$$ Esta es una ecuación muy complicada para $r(\theta)$ . Pero la ecuación es simple en términos de $\rho(\theta) = \frac{1}{r(\theta)}$ . Realizando un cambio de variables, obtenemos $$\frac{d^2 \rho}{d \theta^2} + \rho = \mu \frac{Gm_1m_2}{J^2}$$ Esto tiene una solución sencilla $$\rho(\theta) = A \cos \theta + \mu \frac{Gm_1m_2}{J^2}$$ Es conveniente escribir $h = \frac{J}{\mu}$ . Finalmente sustituyendo por $r$ , $$r = \frac{\frac{h^2}{\alpha}}{1+\frac{Ah^2}{\alpha}\cos \theta}$$ Nombrar nuevas variables $a$ y $e$ la ecuación anterior se convierte en $$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e \cos \theta}$$ Te han dado una información incompleta si te han dicho que ésta es una ecuación para la elipse. En realidad es la ecuación de una sección cónica. Basada en los valores de $e$ la trayectoria puede ser cualquier cosa. $$e = 0,circle$$ $$0<e<1,ellipse$$ $$e = 1,parabola$$ $$e>1,hyperbola$$ Pero eso no resuelve del todo tu duda. Aquí está la trampa. Tenga en cuenta que los valores de $a$ (semieje mayor) y $e$ (excentricidad) de la órbita, que son dos parámetros orbitales, dependen de $J$ y $E$ es decir, el momento angular y la energía del sistema. Puedes jugar con las ecuaciones mencionadas anteriormente para obtener diversas propiedades del sistema.

Pero, lo importante es tener en cuenta el hecho de que los valores de $J$ y $E$ afectan dinámicamente a los valores de $a$ y $e$ . Es pura coincidencia que en la mayoría de estos casos, la trayectoria tenga forma de elipse, pero en teoría podría ser cualquier sección cónica.

¿Le satisfacen esta derivación y esta explicación?

P.D. Si quieres cambiar la trayectoria de, por ejemplo, la Tierra, tendrás que cambiar $J$ y $E$ . Ese es el trabajo de los cohetes que lanzan satélites. Los científicos, a nivel de base, se encargan de que $J$ y $E$ encaja bien y el resto de la física se encarga de sí misma