Otras formas del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$?

Question

Una forma en que el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ puede venir para arriba es como el espacio de los polinomios de más de $\mathbb{R}$ de grado en la mayoría de las $(n-1)$ . Aquí tenemos el isomorfismo: $$(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}) \leftrightarrow a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}.$$ The linear independence of the polynomials in $\{1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}\}$ es la razón por la que es legítimo para igualar los coeficientes de los polinomios.

Pregunta: ¿cuáles son otras formas del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$?

I. e., ¿cuáles son algunas otras interesantes espacios vectoriales que son isomorfos a $\mathbb{R}^n$?

Answer 1

Para (real, pero no importa mucho; ver más abajo) polinomio $Q(x)$ de positivos grado, considerar el conjunto apropiado de funciones racionales con denominador $Q(x)$, es decir, $\{ P(x)/Q(x) \mid \operatorname{deg} P < \operatorname{deg} Q\}$. Este es un espacio vectorial real de dimensión $\operatorname{deg} Q$.

Entonces, ¿qué? Bien, esto nos lleva a una fácil prueba de las Fracciones Parciales de Descomposición. Es decir, usted puede ver que el PFD es realmente alegando la existencia de un cierto buen base para este espacio, que consta de ciertas funciones racionales con denominador una potencia de un único polinomio irreducible. Es fácil ver que la supuesta base de los elementos son linealmente independientes y que no se $\operatorname{deg} Q$ de ellos. Por lo que debe ocupar la totalidad del espacio!

Esta idea está escrito en detalle en una página de nota disponible aquí. Admito que a pesar de que puede ser escrita en una más de pregrado de manera amigable: primero tengo que hacer el caso general de la PFD sobre cualquier campo de tierra, que requiere de un poco de teoría de campo (no mucho, pero no la teoría de campo es parte de la mayoría de los primeros cursos de álgebra lineal), luego, al final me indicar brevemente cómo la teoría de campo pueden ser eliminados $\mathbb{C}$$\mathbb{R}$. Esto realmente es breve porque en el momento que fue, por alguna razón (hace esto, incluso el sonido como yo? importante que todo el argumento que quepa en una sola página.

La misma técnica puede ser utilizada para demostrar otros teoremas. Otro buen uso de ella es en el cálculo de las diferencias finitas, con aplicaciones para explícita de los cálculos de la potencia sumas $\sum_{n=1}^n n^k$. Si no recuerdo mal, también puede ser utilizado para probar cosas como Hermite del Polinomio de Interpolación Teorema. La idea de ir de independencia lineal a abarca por conocer el finito (!) la dimensión del espacio ambiente parece que debería ser enfatizado con más fuerza en los cursos: se trata de un simple escaparate de la potencia de álgebra lineal.

Añadido: se me ha pedido que decir más acerca de las cosas que he mencionado en el párrafo anterior. El álgebra lineal de la discreta derivados se trata en la Sección 4 y 5 de este (sin terminar) nota sobre el cálculo discreto. Como para la Interpolación de Hermite, ver Teorema 12.11 de estas notas. Si lo haces, te darás cuenta de que la prueba de que falta. Sería fácil demostrar que el uso de álgebra lineal en el sentido indicado anteriormente. Pero no estoy suponiendo lineal algbra en estas notas...así que no estoy realmente seguro de que en el momento lo que prueba a darle!

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, cualquier finito-dimensional real espacio vectorial es isomorfo a algunos $\mathbb R^n$. Puede ser interesante e instructivo a considerar este tipo de espacios donde no tenemos más o menos base canónica para empezar (y por lo tanto no tengo una "obvia" isomorfismo a $\mathbb R^n$).

En este sentido, "polinomios de grado $<n$" es un mal ejemplo como este ranslates "polinomios $a_0+a_1x+\ldots a_{n-1}x$ $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\mathbb R$" e e inmediatamente nos sugiere la deseada isomorfismo.

Si nosotros en lugar de considerar el espacio vectorial de dos veces diffrentiable funciones de $\mathbb f\colon \mathbb R\to\mathbb R$ satisfacción $f''(x)+f(x)=0$ todos los $x$, de nuevo hay un "bonito", dado por $\sin x $$\cos x$, pero ahora puede parecer menos obvio - ¿por qué debería elegir estas funciones específicamente? Y en que orden?

Del mismo modo, conside el espacio de secuencias de $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ la satisfacción de la recursividad $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ todos los $n$. Este es un espacio de dos dimensiones así, la secuencia de Fibonacci, siendo el más famoso de los estados. Pero, una vez más, no sorprendentemente elección obvia de la base.

Answer 3

La transformada de Fourier discreta es otro ejemplo interesante porque está directamente ligado a la tecnología moderna. Un micrófono digital activado monitorea el aire continuamente, produciendo cada segundo una muestra $$\mathbf{x}=(x_0, x_1, x_2, \ldots x_{2N})\in \mathbb{R}^{2N+1}, $$ con cada entrada $x_h$ correspondiente a la intensidad del sonido en el tiempo $\frac{j}{N}$ (normalmente, $2N+1$ es de aproximadamente 44000). Por lo tanto, el espacio de muestras de sonido es (isomorfo a) $\mathbb{R}^{2N+1}$.

El álgebra lineal es útil porque permite el cambio de base: es decir, uno puede expresar $\mathbf{x}$ como una combinación lineal $$x_h= a_0 + \sum_{k=1}^Na_k \cos\left(\frac{2\pi k}{N}h\right) + \sum_{k=1}^Nb_k \sin\left(\frac{2\pi k}{N}h\right), $$ que es $$\mathbf{x}=a_0\mathbf{1}+\sum_{k=1}^Na_k \mathbf{c}_k + \sum_{k=1}^N b_k \mathbf{s}_k, $$ donde $\mathbf{1}$ es el sonido de intensidad constante y $\mathbf{c}_k$ $\mathbf{s}_k$ corresponden a primaria armónicos. Esta operación se llama transformada de Fourier discreta (DFT).

Esta representación de la muestra original es mucho mejor adaptado para el oído humano. La supresión de los coeficientes correspondientes a las frecuencias más altas se obtiene un sonido que difiere de manera imperceptible a partir de la original, pero que ocupa mucho menos espacio cuando se almacena en un medio digital. Este es el principio sobre el que la compresión de audio estándares (tales como .mp3) de trabajo.

Me parece extraordinario que todo esto es una aplicación de básicos de álgebra lineal.

Answer 4

El espacio de la diagonal de las matrices.

Answer 5

Como DonAntonio dice en los comentarios, cualquier espacio vectorial real $V$ de la dimensión de $n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$. Una vez que elija una base $v_1,\dotsc,v_n$$V$, usted puede escribir cualquier vector $v\in V$ únicamente como $v=\lambda_1v_1+\dotsc+\lambda_nv_n$, y por lo $v\mapsto(\lambda_1,\dotsc,\lambda_n)$ es un isomorfismo $V\to\mathbb{R}^n$.

Una sutil pero importante, es que el isomorfismo depende de la elección de la base, por lo que es peligroso decir que $V$ es $\mathbb{R}^n$; usted no sabe cómo combinar los elementos de seguridad hasta que usted tiene una base de $V$ (y una base de $\mathbb{R}^n$, pero podríamos tomar el estándar por convenio). De hecho, incluso es posible definir una base de $V$ como un isomorfismo $\mathbb{R}^n\stackrel{\sim}{\to}V$.

Hay casos en los que dos objetos son isomorfos a través de una única preferido isomorfismo (es decir, un isomorfismo natural) que no dependen de las decisiones, y en ese caso tiene más sentido para llamar la misma en lugar de sólo isomorfo.