¿Se conoce el orden de$\operatorname{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)$?

Question

Es el orden de $\operatorname{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)$ conocido? Y si es así ¿hay una descripción sobre cómo el orden se puede encontrar?

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Mi primera reflexión es que, debido a $\bar{\Bbb Q}$ es contable y para un $\alpha_n\in\bar{\Bbb Q}\backslash\Bbb Q$ $n\in\Bbb N_0$ $\alpha_0=1$ podemos decir que cualquier algebraicas número $\beta\in\bar{\Bbb Q}$ puede ser escrito como $$\beta=\sum_{k\ge0}\alpha_kp_{k+1}=p_1+\alpha_1p_2+\alpha_2p_3+\cdots$$ Ahora hay automorfismos en $\bar{\Bbb Q}$ que sé que están en un conjunto $A\subset \operatorname{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)$ $A=\{\imath, *_1, *_2,...\}$ donde $*_n$ es la conjugación de la $n^\text{th}$ plazo. Así que tengo la esperanza de que hay un $B=\operatorname{Gal}(\bar{\Bbb Q}/\Bbb Q)\backslash A$ que también es contable o incontable. Lo que significa que el problema no es sólo determinar la cardinalidad de a $B$.

Answer 1

Tiene la cardinalidad del continuo.

Para ver esto, observe que la primera es fielmente descrito por su acción sobre las raíces de todos los polinomios irreducibles sobre $\mathbb{Q}$, de los cuales hay countably muchos; esto significa que se inyecta en un producto más de countably muchos grupos simétricos, que tiene la cardinalidad del continuo. Por lo que tiene a la mayoría de la cardinalidad del continuo.

En segundo lugar, podemos construir un elemento de la absoluta Galois grupo mediante la selección de un elemento arbitrario de un grupo de Galois de algunos de Galois de la extensión de $\mathbb{Q} \to K_1$, entonces se extiende en una manera arbitraria a una extensión de Galois $\mathbb{Q} \to K_1 \to K_2$, y así sucesivamente, a cada paso podemos organizar que hay al menos dos opciones para hacer, y hacemos countably muchas opciones, por lo que el grupo de Galois tiene, al menos, la cardinalidad del continuo.

(Una exageración manera de hacer el segundo paso: el absoluto grupo de Galois es un profinite grupo, por lo tanto, en particular, compacto Hausdorff. Un grupo es finito o incontables debido a la existencia de Haar medida, ya que si fuera contables, entonces no podría tener una medida de Haar finito total de la medida.)

Answer 2

Aquí hay una versión diferente de la prueba de Qiaochu.

$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ surjects en$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{p} : p \text{ prime}) / \mathbb{Q}) \cong \prod_{p \text{ prime}} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por lo que$\# \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \geq c$.

En la otra dirección,$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) = \lim_{E / \mathrm{Q} \text{ finite Galois}} \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q})$. Dado que solo hay contables muchas extensiones de Galois finitas y cada grupo de Galois asociado es finito, sigue a$\# \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \leq {\aleph_0}^{\aleph_0} = c$.