¿Existe un isomorfismo de grupo de la Z a la ZxZ?

Question

Sé que $ \mathbb Z$ y $ \mathbb {Z} \times\mathbb {Z}$ tienen la misma cardinalidad porque puedes crear una bijección entre los dos. El ejemplo que me enseñaron es la función de emparejamiento de Cantor, que mapea $ \mathbb {N}^2 \to\mathbb {N}$ así: $ \displaystyle C(x,y)=y+ \frac {(x+y)(x+y+1)}{2}$ y tiene un inverso $C^{-1}: \mathbb {N} \to\mathbb {N}^2$ que se explica muy bien en Wikipedia .

Dado que $+$ se define en $ \mathbb {Z}^2$ de tal manera que $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$ (es decir, la simple suma de vectores), estaba tratando de dibujar algún tipo de relación entre las sumas de los números enteros y las sumas de los pares que mapean para usar la función de emparejamiento. Honestamente no puedo ver mucho de un patrón, pero estoy dispuesto a conjeturar que:

$C^{-1}(a + b) = C^{-1}(a) + C^{-1}(b)$ es cierto si y sólo si a o b es $0$

No estoy seguro de cómo probarlo, pero tengo la corazonada de que de alguna manera se relaciona con la respuesta de mi pregunta real:

¿Hay una función $f: \mathbb {Z} \to\mathbb {Z} \times\mathbb {Z}$ de tal manera que..:

1. $f^{-1}: \mathbb {Z} \times\mathbb {Z} \to\mathbb {Z}$ existe
2. $ \forall a,b \in \mathbb {Z}, f(a+b) = f(a)+f(b)$
3. $ \forall a,b \in \mathbb {Z} \times\mathbb {Z}, f(a+b) = f(a)+f(b)$

¿Puedo tener un homomorfismo de grupo bijectivo de los números enteros a pares de números enteros?

Answer 1

No: a diferencia de $\Bbb Z$ , $\Bbb Z\times\Bbb Z$ no es cíclico. Es fácil demostrar que no $\langle m,n\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z$ genera $\Bbb Z\times\Bbb Z$ . En caso de que quieras probar, he protegido el argumento con spoilers; pasa el ratón por encima para verlo.

Supongamos que $\langle m,n\rangle$ genera $\Bbb Z\times\Bbb Z$ Entonces $$\Bbb Z\times\Bbb Z=\{\langle km,kn\rangle:k\in\Bbb Z\}\;.$$ Está claro que debemos tener $m=\pm 1$ , ya que de lo contrario $\{km:k\in\Bbb Z\}\ne\Bbb Z$ . De la misma manera, $n=\pm 1$ . Pero entonces $\langle m,n\rangle$ genera $\{\langle k,k\rangle:k\in\Bbb Z\}$ o $\{\langle k,-k\rangle:k\in\Bbb Z\}$ , ninguno de los cuales es $\Bbb Z\times\Bbb Z$ .

Answer 2

Supongamos que se tiene un homomorfismo de grupo sobreyectivo $f:\mathbb Z \to \mathbb Z \times \mathbb Z$ . Entonces podría encontrar $a, b \in \mathbb Z$ tal que $f(a)=(1,0)$ y $f(b)=(0,1)$ . Ahora podemos calcular $f(ab)$ de dos maneras. $f(ab)=af(b)=a(0,1)=(0,a)$ y $f(ab)=bf(a)=(b,0)$ . Desde $(0,a)\neq (b,0)$ a menos que $a=b=0$ no podemos tener una función suryectiva de este tipo.

Answer 3

Notación: $C$ es la inversa de $D$ . A continuación, un cálculo ciertamente aburrido. Supongamos $D(a+b)=D(a)+D(b)$ . Con las anotaciones $D(a)=A$ y $D(b)=B$ es equivalente a $D(C(A)+C(B)) = A + B$ y, por tanto, C es biyectiva, además de $C(A)+C(B)=C(A+B)$ . En los términos de las coordenadas, $A=(A1,A2)$ y $B=(B1,B2)$ equivale a $C(A1,A2)+C(B1,B2)=C(A1+B1,A2+B2)$ Además, para $$A2 + \frac{(A1+A2)\cdot(A1+A2+1)}{2} + B2 + (B1+B2)\cdot\frac{(B1+B2+1)}{2} = A2 + B2 + (A1+B1+A2+B2)\cdot\frac{(A1+B1+A2+B2+1)}{2}$$ Eso es, $$(A1+A2)\cdot(A1+A2+1) + (B1+B2)\cdot(B1+B2+1) = (A1+B1+A2+B2)\cdot(A1+B1+A2+B2+1)$$ Con la notación: $A1+A2=x$ , $B1+B2=y$ Es decir, es $$x(x+1)+y(y+1)=(x+y)(x+y+1)$$ Eso es, $2\cdot x\cdot y=0$