¿Es cada morfismo individual entre variedades necesariamente un homeomorfismo?

Question

Deje que$f$ sea un morfismo entre dos variedades irreductibles y uno a uno. ¿Es$f$ realmente un homeomorfismo en su imagen?

Aquí las variedades están equipadas con topología Zariski.

Sé que si las variedades son proyectivas es verdad. (Debido a que las variedades proyectivas están completas,$f$ asigna conjuntos cerrados a conjuntos cerrados)

Answer 1

Deje que$Y\subset \mathbb P^2(\mathbb C)$ sea el cúbico singular$y^2z=x^2z+x^3$ y considere el morfismo$$f:X=\mathbb P^1(\mathbb C)\setminus \{(-1:1)\}\to Y:(u:v)\mapsto (u^2v-v^3:u^3-uv^2:v^3) $$ That morphism $ f$ is a bijective continuous map with source $ X$ homeomorphic to $ \ mathbb C$ but is not a homeomorphism in the classical topology because $ Y $ is compact and $ X \ cong \ mathbb C $ no es.

Sin embargo, tenga en cuenta que en la topología de Zariski$X$ y$Y$ son homeomorfos, porque más de$\mathbb C$ cada bijección entre curvas irreductibles es (¡de forma bastante intuitiva!) Un homeomorfismo en la topología de Zariski!

Answer 2

Este ejemplo proviene de un libro escrito por un profesor mío. El mapa$f$ es en realidad inyectivo, pero no es una inserción.

aquí la condición (i) es inyectividad, mientras que la condición (ii) es que el diferencial de$f$ siempre tiene un rango igual a$1 = \dim \Bbb{R}$.