$x^2+y^2=-1 \mod p$ es solucionable si$p \equiv 3 \mod 4$

Question

¿Existe una prueba elemental (es decir, sin usar campos y normas) para el hecho de que para una prima$p$ la congruencia$x^2+y^2=-1 \mod p$ puede resolverse si$p \equiv 3 \mod 4$?

Answer 1

Si $p$ es una de las principales, a continuación, $x^2$ puede dejar el resto a $0,1^2,2^2,\dots ,[(p-1)/2]^2$ cuando se divide por $p$, y todos ellos son distintos.

Ahora supongamos $x^2+y^2$ no deja un resto $p-1$ cuando se divide por $p$ para cualquier valor de $x,y$.

Por lo $y^2$ no puede dejar el resto a $(-1+0),(-1-1^2),(-1+2^2),(-1+3^2),\dots (-1+[(p-1)/2]^2)$ cuando se divide por $p$.

Tenga en cuenta que todos ellos son distintos y hay $(p+1)/2$ de ellos, por lo que la cardinalidad del conjunto de los restos de $y^2$ cuando se divide por $p$ puede ser en la mayoría de las $(p-1)/2$ pero sabemos que la cardinalidad del conjunto de los restos de $y^2$ cuando se divide por $p$$(p+1)/2$, por lo tanto, una contradicción.

Así que para cualquier prime $p$, independientemente de si es de la forma $4k+1$ o $4k+3$, por encima de la congruencia tiene una solución!