integrar

Question

Estoy atrapado en este ejemplo de la Wikipedia en la diferenciación bajo el signo integral.

$$\int_0^\pi\frac {1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x + \alpha^2} dx$$

¿Alguna ayuda?

Edita:

1. El último término en el denominador se cambia a $\alpha^2$.
2. Este integral aparece en el ejemplo 3 de la Wikipedia artículo https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign.

Answer 1

Debemos escribir el integrando como\begin{equation} g(x) = \frac{1 - \alpha^2}{1 - 2\alpha\cos x + \alpha^2} \end{equation} primero escribimos $\cos x = \cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)$, $1 = \cos^2(x/2) + \sin^2(x/2)$ y $\alpha^2 = \alpha^2(\cos^2(x/2) + \sin^2(x/2))$\begin{equation} g(x) = \frac{(1 - \alpha^2)\sec^2(x/2)}{(1 - \alpha)^2 + (1 + \alpha)^2\tan^2(x/2)} \end{equation} que es igual a\begin{equation} g(x) = 2\frac{1 + \alpha}{2}\frac{(1 - \alpha)\sec^2(x/2)}{(1 - \alpha)^2 + (1 + \alpha)^2\tan^2(x/2)} \end{equation} o,\begin{equation} g(x) = 2\frac{1}{1 + \frac{(1 + \alpha)^2}{(1 - \alpha)^2}\tan^2(x/2)}\frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}\sec^2(x/2)\frac{1}{2} \end{equation} o \begin{equation} g(x) = 2 \frac{1}{1 + \left(\frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}\right)^2\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)}\frac{d}{dx}\left[\frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right] \end{equation} por lo tanto,\begin{equation} \int g(x)dx = 2\tan^{-1}\left(\frac{1 + \alpha}{1 - \alpha}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right) + c, \end{equation} donde $c$ es una constante de integración. Por lo tanto,\begin{equation} \int_0^\pi \frac{1 - \alpha^2}{1 - 2\alpha\cos x + \alpha^2} dx = \begin{cases} \pi & |\alpha| 1 \end{casos} \end{equation}

Answer 2

Este es un ejemplo típico que pueden ser resueltos por el teorema de los residuos:

Tenemos que (con $z=e^{ix}$) $$I= \int_0^\pi\frac {1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x + \alpha^2} dx= \frac12 \int_{-\pi}^\pi\frac {1-\alpha^2}{1-2\alpha\cos x + \alpha^2} dx = \frac1{2i} \oint_{|z|=1} \!\frac{dz}z\, \frac{1-\alpha^2}{1 + \alpha^2 -\alpha (z+z^{-1})} .$$

El denominador está dado por $$ d= z (1+\alpha^2) -\alpha (1+ z^2)$$ y tiene los polos $z_1=\alpha$$z_2=1/\alpha$.

(1) Por $|\alpha|<1$ la pole en $z=z_1$ contribuye, y obtenemos $$I = \pi \mathop{\rm Res}_{z=\alpha} \frac{1-\alpha^2}{d} = \pi.$$

(2) Por $|\alpha|>1$ la pole en $z=z_2$ contribuye, y obtenemos $$I = \pi \mathop{\rm Res}_{z=1/\alpha} \frac{1-\alpha^2}{d} = -\pi.$$