¿Por qué es cero la derivada covariante del tensor métrico?

Question

He consultado varios libros para la explicación de por qué

$$\nabla _{\mu}g_{\alpha \beta} = 0,$$

y por lo tanto obtener la relación entre el tensor métrico y la conexión afín $\Gamma ^{\sigma}_{\mu \beta} $

$$\Gamma ^{\gamma} _{\beta \mu} = \frac{1}{2} g^{\alpha \gamma}(\partial _{\mu}g_{\alpha \beta} + \partial _{\beta} g_{\alpha \mu} - \partial _{\alpha}g_{\beta \mu}).$$

Pero no estoy llegando a ninguna parte. Tal vez deba profundizar más en los conceptos de la variedad.

Answer 1

La conexión es elegida de tal manera que la derivada covariante de la métrica es cero. El hecho de que la derivada métrica covariante se anule no es una consecuencia de usar "cualquier" conexión, es una condición que nos permite elegir una conexión específica $\Gamma^{\sigma}_{\mu \beta}$. En principio podrías tener conexiones para las cuales $\nabla_{\mu}g_{\alpha \beta}$ no se anula. Pero específicamente queremos una conexión para la cual esta condición sea verdadera porque queremos una operación de transporte paralelo que preserve ángulos y longitudes.

Answer 2

Se puede mostrar fácilmente con el siguiente razonamiento. $$ DA_{i} = g_{ik}DA^{k}, $$ porque $DA_{i}$ es un vector (según la definición de derivada covariante). Por otro lado, $$ DA_{i} = D(g_{ik}A^{k}) = g_{ik}DA^{k} + A^{k}Dg_{ik}. $$ Entonces, $$ g_{ik}DA^{k} + A^{k}Dg_{ik} = g_{ik}DA^{k} \Rightarrow Dg_{ik} = 0. $$ Así que, no es una condición, es una consecuencia de la derivada covariante y la definición del tensor métrico.

La relación entre los símbolos de Christoffel y las derivaciones del tensor métrico se puede obtener mediante la permutación cíclica de índices en la expresión de la derivada covariante $g_{ik; l}$, la cual es igual a cero.

Answer 3

Aquí hay otro cálculo directo, pero asumiendo la existencia de coordenadas localmente planas $\xi^i\left(x^\mu\right)$. Entonces \begin{align} D_\rho g_{\mu \nu} &= \partial_\rho g_{\mu \nu} - g_{\mu \sigma} \Gamma_{\nu\rho}^{\sigma} - g_{\sigma\nu} \Gamma_{\mu\rho}^{\sigma} \\ &= \partial_\rho \left( \frac{\partial \xi^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^\nu} \right) - g_{\mu \sigma} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\nu \partial x^\rho} - g_{\sigma \nu} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\rho} \\ &= \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\rho \partial x^\mu}\frac{\partial \xi^i}{\partial x^\nu} + \frac{\partial \xi^i}{\partial x^\mu}\frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\rho \partial x^\nu} - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^\mu}\underbrace{\frac{\partial \xi^j}{\partial x^\sigma} \frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i}}_{\delta^j_i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\nu \partial x^\rho} - \frac{\partial \xi^j}{\partial x^\sigma}\frac{\partial \xi^j}{\partial x^\nu}\frac{\partial x^\sigma}{\partial \xi^i} \frac{\partial^2 \xi^i}{\partial x^\mu \partial x^\rho} \\ &= 0 \end{align}

Answer 4

Esto solo está destinado a complementar la primera respuesta.

Si pensamos físicamente, entonces vivimos en un mundo (pseudo-)Riemanniano particular. En este mundo, solo hay una tensor métrico (hasta un escalar) y se puede medir bastante bien. Si lo encontré aquí, y si un extraterrestre lo midió, y comparamos nuestras respuestas, serían múltiplos escalares entre sí (elección de la barra de metro parisina para mí, elección del pie imperial para el extraterrestre, o viceversa...). Hay precisamente una conexión, y se puede calcular a partir de la métrica.

Así que discuto la palabra utilizada por @twistor59, «elegida». No hay elección. Dada una métrica, la conexión está determinada. Estoy de acuerdo con el resto de la respuesta, pero me gustaría ver la palabra «elegida» reemplazada por «dada». Preferiría decir,

dada una métrica, la conexión está determinada por la métrica.

Answer 5

Considera la analogía con la gravedad newtoniana. En la gravedad newtoniana, tenemos un potencial $\Phi$, y al diferenciarlo obtenemos el campo gravitacional.

En la RG, la métrica juega el papel del potencial, y al diferenciarla obtenemos los coeficientes de Christoffel, que pueden ser interpretados como medidas del campo gravitacional.

Ahora en la RG tenemos el principio de equivalencia (p.e.), y una forma de enunciar el p.e. es que podemos siempre elegir un marco de referencia local tal que el campo gravitacional sea cero. Por lo tanto, existen coordenadas tales que $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$. Pero $g$ es un tensor, y el punto entero de la derivada covariante $\nabla$ es que es un tensor (a diferencia de las derivadas parciales respecto a las coordenadas). Y un tensor que es cero en un conjunto de coordenadas es cero en cualquier otro conjunto de coordenadas. Por lo tanto debemos tener $\nabla_\alpha g_{\mu\nu}=0$ en cualquier conjunto de coordenadas que elijamos.