Cómo calcular la siguiente integral doble

Question

Les agradecería que me ayudaran a encontrar la siguiente integral, gracias.

$$f(u)= \int_{-\infty }^{\infty} \int_{-\infty }^{\infty} \frac{e^{ -(x-a)^2/2b^2} }{{b\sqrt {2\pi}}} \frac{e^{ -(y-c)^2/2d^2} }{{d\sqrt {2\pi}}} \delta (xy-u) dx dy$$

donde $\delta()$ es función delta y a, b, c , d son números reales.

Según MathWorld cuando a y c son cero la respuesta sería $$\frac {K_0 (\frac{|u| }{bd})}{ \pi bd}$$

donde $K_0()$ es función de Bessel modificada . Ahora bien, ¿qué pasa si a y c no son cero?

Lo he simplificado de la siguiente manera (no estoy seguro de que sea correcto)

$$f(u)=\frac1{2\pi bd} \int_{-\infty }^{\infty} \frac 1{|y|} e^{ -(\frac uy-a)^2/2b^2} e^{ -(y-c)^2/2d^2} dy$$

Answer 1

En esta respuesta se demuestra que al componer la delta de dirac con $g(x)$ obtenemos $$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,\delta(g(x))\,\mathrm{d}x=\int_{\mathcal{S}}\frac{f(x)}{|\nabla g(x)|}\,\mathrm{d}\sigma(x) $$ donde $\mathcal{S}$ es la superficie en la que $g(x)=0$ y $\mathrm{d}\sigma(x)$ es una medida de superficie estándar en $\mathcal{S}$ .

En la integral dada, $\mathrm{d}\sigma(x)$ es arclength y $$ |\nabla g(x)|=|(y,x)|=\sqrt{x^2+y^2} $$ Si parametrizamos la curva $xy=u$ por $y=u/x$ , obtenemos que $$ \begin{align} \mathrm{d}\sigma(x) &=\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{1+\frac{u^2}{x^4}}\,\mathrm{d}x\\ \end{align} $$ Por lo tanto, la integral se convierte en $$ \begin{align} &\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ -(x-a)^2/2b^2} }{{b\sqrt {2\pi}}} \frac{e^{ -(u/x-c)^2/2d^2} }{{d\sqrt {2\pi}}}\sqrt{1+u^2/x^4}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+u^2/x^2}}\\ &=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ -(x-a)^2/2b^2} }{{b\sqrt {2\pi}}} \frac{e^{ -(u/x-c)^2/2d^2} }{{d\sqrt {2\pi}}}\frac{\mathrm{d}x}{|x|} \end{align} $$ que es lo que tienes.