Prueba $3^n \ge n^3$ por inducción

Question

Sí, prueba $3^n \ge n^3$, $n \in \mathbb{N}$.

Puede hacer este mismo, pero no se puede averiguar cualquier tipo de forma "bella".

La manera de hacerlo es:

Asumir $3^n \ge n^3$

Ahora,

$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$,

y $\forall{} n \ge 3$,

$3n^2 \le n^3, \,\, 3n + 1 \le n^3$

Que finalmente da $(n+1)^3 \le 3n^3 \le 3^{n+1}$ por nuestra hipótesis.

Ahora sólo prueba a mano para n = 1, 2, 3 y el resto sigue por la inducción.

¿Alguien tiene algo más simple?

Answer 1

Base:

$n = 1$

$$3^1 \ge 1^3 \implies 3 \ge 1\text{, which is true}$$

Hipótesis inductiva

Que $n=k$ y que esta desigualdad sostenga:

$$3^k \ge k^3$$

Paso inductivo

A demostrar que también lleva a cabo cuando $n=k+1$

$$3^{k+1} \ge (k+1)^3$$ $$3^k \cdot 3 \ge k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$ $$3^k + 3^k + 3^k \ge k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$ $$2 \cdot 3^k \ge 3k^2 + 3k + 1$$

Tenga en cuenta que cada $k \ge 2$, esta desigualdad tiene $3k^2 \ge 3k + 1$

$$2 \cdot 3^k \ge 6k^2$$ $$3^k \ge 3k^2$$

Esto es cierto para cada $k \ge 3$

Ahora puede probar lo otros 2 casos $n = 1,2$ para dar una prueba completa.

Answer 2

Mostrar cierto $n=1,2,3$ y asumir cierto $k$. Luego tenga en cuenta que $3^{k+1} = 3^{k}\cdot 3 \geq 3\cdot k^3 = (3^{1/3}\cdot k)^3$ (por nuestra Asunción). Ahora, $k\geq 3$, vemos que el $3^{1/3}\cdot k \geq k+1$ y el resultado sigue.

Answer 3

No sé sobre la belleza, pero después de comprobar la desigualdad para los primeros tres casos, uno puede utilizar el hecho de que $64\lt81$ a la conclusión de que $3\log(1+{1\over3})\lt\log3$. Combinando esto con la hipótesis de inducción, se sigue que para $n\ge3$,

$$\begin{align} 3\log(n+1) &= 3\log n + 3\log(1+{1\over n})\cr &\le 3\log n +3\log(1+{1\over3}) \cr &\lt n\log3+\log3\cr &=(n+1)\log3 \end {Alinee el} $$

Answer 4

Aquí es otro argumento, pero no es necesariamente más simple que la tuya:

1) if $n=1$, $3^1=3\ge1=1^3$; Si $n=2$, $3^2=9\ge8=2^3$; y si $n=3$, $3^3=3^3$.

2) ahora Supongamos que $3^n\ge n^3$ % entero $n\ge3$.

$\displaystyle\frac{1}{n}\le\frac{1}{3}$, Que $\displaystyle\frac{(n+1)^3}{n^3}=\big(1+\frac{1}{n}\big)^3\le\big(\frac{4}{3}\big)^3=\frac{64}{27}\le3$, así

$\;\;\;\;\;\;\;\;3^{n+1}=3(3^n)\ge3n^3\ge(n+1)^3$.