Bijection de $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$

Question

Mi objetivo aquí es encontrar una biyección desde $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ (esto es dejar $0 \in \mathbb{Z}$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

Dejemos que $$A = \{ x^2 - x \mid x \in \mathbb{Z} \} $$ y que $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $g(x) = a \in A$ , $a$ es el mayor elemento de $A$ para lo cual $a \leq x$ es decir

$$ x \geq a $$ $$ \forall_{b \in A} \left( b > a \to b > x \right)$$

La función $g$ asigna un número entero al mayor número triangular que es menor que él mismo. Por ejemplo, $$g(0) = 0$$ $$g(1) = g(2) = 1$$ $$g(3) = g(4) = g(5) = 3$$ $$g(6) = g(7) = g(8) = g(9) = 6$$

Dejemos que $h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ , $h(x) = g(x) - g(g(x) - 1)$

$$h(0) = 0$$ $$h(1) = h(2) = 1$$ $$h(3) = h(4) = h(5) = 2$$ $$h(6) = h(7) = h(8) = h(9) = 3$$

Dejemos que $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ tal que $$f(x) = (x - g(x), h(x) - (x - g(x)))$$

$$f(0) = (0 - 0, 0 - 0) = (0,0) $$ $$f(1) = (1 - 1, 1 - (1 - 1)) = (0, 1) $$ $$f(2) = (2 - 1, 1 - (2 - 1)) = (1, 0) $$ $$f(3) = (3 - 3, 2 - (3 - 3)) = (0, 2) $$ $$f(4) = (4 - 3, 2 - (4 - 3)) = (1, 1) $$ $$f(5) = (5 - 3, 2 - (5 - 3)) = (2, 0) $$ $$ . $$ $$ . $$ $$ . $$

¿Cómo puedo encontrar la inversa de esta función? Aparte de demostrar que es un isomorfismo. El objetivo no es simplemente demostrar que existe una biyección, sino encontrar una biyección.

Answer 1

Primero elige una biyección $\mathbb Z \to \mathbb N$ por ejemplo, la que tiene como inversa $0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots$ .

Ahora, usa una espiral para obtener una biyección $\mathbb N \to \mathbb Z \times \mathbb Z$ . Supongamos que $\mathbb N$ no contiene $0$ .

Puedes divertirte escribiendo una fórmula para la biyección compuesta $\mathbb Z \to \mathbb Z \times \mathbb Z$ si realmente quieres una fórmula.

Ver esta pregunta y este otro .

Answer 2

Escribir una fórmula para esa diagonalización es tedioso. (¡Que alguien me demuestre que estoy equivocado en otra respuesta!) En su lugar, yo haría un pedido de $\mathbb N^2$ de la siguiente manera:

$(a,b)\leq(c,d)$ en el caso de que $a+b<c+d$ o ( $a+b=c+d$ y $a\leq c$ )

A continuación, puede definir $f(0)=(0,0)$ y $f(n+1)=\min(\{(x,y)\in\mathbb Z^2:(x,y)>f(n)\})$ . Esto está bien definido si se puede demostrar que para cada $(a,b)$ hay un punto mayor en el orden (digamos, $(a+1,b)$ ), y esto es obviamente un mapa inyectivo ya que $f(n+1)>f(n)$ . Finalmente, para demostrar que es onto, se puede demostrar que para cada punto $(a,b)$ sólo un número finito de puntos es menor que ella con este orden (ya que sólo un número finito de puntos tiene una suma menor o igual a $a+b$ ).

Esto da una biyección $\mathbb N \to \mathbb N\times\mathbb N$ un poco más de trabajo da $\mathbb Z \to \mathbb Z\times\mathbb Z$ .