Dejemos que $A$ sea un álgebra sobre un campo $F$ . Una derivación de $A$ es un $F$ -mapa lineal $D : A\to A$ tal que $D(ab) = aD(b) + D(a)b$ para todos $a, b \in A$ . El mapa $adx : L \to L$ es la derivación interna. Estoy buscando algunos ejemplos de derivaciones no internas de álgebras de Lie.
El ejemplo más fácil es quizás considerar todas las derivaciones del Álgebra de Lie de Heisenberg $\mathfrak{h}_3(K)$ es decir, todos los mapas lineales $D\colon \mathfrak{h}_3(K) \rightarrow \mathfrak{h}_3(K)$ Satisfaciendo a $D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]$ para todos $x,y$ . Aquí los paréntesis vienen dados por $[e_1,e_2]=-[e_2,e_1]=e_3$ , donde $(e_1,e_2,e_3)$ denota una base. Las derivaciones internas son de la forma $ad (x)$ y son combinaciones lineales de $$ ad (e_1)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr \end{pmatrix},\; ad (e_2)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0\cr -1 & 0 & 0\cr \end{pmatrix},\, ad(e_3)=0. $$ Sin embargo, el Álgebra de Lie de Heisenberg tiene muchas otras derivaciones (derivaciones externas). De hecho, todos los mapas lineales de la forma $$ D=\begin{pmatrix} d_1 & d_4 & 0\cr d_2 & d_5 & 0\cr d_3 & d_6 & d_1+d_5\cr \end{pmatrix} $$ son derivaciones del álgebra de Lie de Heisenberg.
Un ejemplo instructivo es escoger un campo $k$ y el álgebra conmutativa $A=k[X]/(X^n)$ . Desde $A$ es conmutativo, su única derivación interna es el mapa cero, así que cualquier ejemplo de derivación que se te ocurra será externo.
Escriba explícitamente las condiciones de un mapa lineal $A\to A$ para ser una derivación, y resolverlos :-)
Aventuraré un ejemplo, a riesgo de ser demasiado trivial.
El corchete de Lie cero hace que los polinomios reales $\Bbb R[x]$ en un álgebra de Lie, y cualquier derivación interna con respecto a este soporte tendría que ser uniformemente cero.
Pero la diferenciación ordinaria es una derivación no nula de polinomios reales, así que esto proporcionaría un ejemplo.
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Dada cualquier álgebra sobre $F$ definir $[\cdot,\cdot]$ ser siempre $0$ . Entonces cualquier $D$ que cocinas es un ejemplo. (Asumo que esto es demasiado trivial para que valga la pena escribirlo como respuesta).
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Soy muy inexperto con las derivaciones. ¿Es la derivación formal habitual sobre polinomios $\Bbb R[x]$ interior? (Con esto quiero decir que usas la regla de poder $D(x^n)=nx^{n-1}$ junto con la linealidad para definir $D$ .)
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@rschwieb: ¿Qué soporte de mentira estás poniendo $\mathbb{R}[x]$ ? ¿O lo he entendido mal?
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@JasonDeVito Me refiero a los polinomios sobre los números reales :) Supongo que el corchete de Lie es trivial, ya que son conmutativos. Supongo que cae bajo su comentario entonces. Lo siento fue lo primero que me vino a la mente.
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@JasonDeVito Sí, para cualquier anillo asociativo que es el soporte de Lie canónica en él, y para los anillos conmutativos sería trivial. Eso es parte de mi pequeño cuerpo de conocimientos sobre el álgebra de Lie :)