Lambda - Interpretación Exponencial vs. Poisson

Question

Estoy tratando de entender el papel de $\lambda$ tanto en las Distribuciones de Poisson como en las Distribuciones Exponenciales y cómo se utiliza para encontrar probabilidades (sí, he leído el otro post sobre este tema, pero no me ayudó mucho).

Lo que (creo) entiendo:

1. Distribución de Poisson -

   • discreta

   • $\lambda$ se define como el número promedio de éxitos (sin importar cómo se defina "éxito", dada la situación del problema) por unidad de tiempo o espacio

   • PFM: $~~P(X = k;\lambda) = \frac{ \lambda^ke^{-\lambda} }{k!} $

   • $P(X\leq k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k)$

   • $P(X< k) = P(X = 0)~+~P(X = 1)~+~P(X = 2)~+~\ldots~+~P(X = k~-~1)$

   • $P(X\geq k) = 1~-~P(X

   • $P(X > k) = 1~-~P(X\leq k)$

2. Distribución Exponencial -

   • continua

   • $\lambda$ se define como el tiempo / espacio promedio entre eventos (éxitos) que siguen una Distribución de Poisson

   • Donde mi comprensión comienza a desvanecerse:

   • FD: $~~f(x; \lambda)~=~ \lambda e^{-\lambda x} $

   • FDA: $ P(X \leq k; \lambda)~=~1~-~e^{-\lambda x} $

   • $ P(X > k; \lambda) ~=~ 1 ~-~P(X \leq k; \lambda)~=~e^{-\lambda x}$

Donde creo que radica el malentendido:

Por el momento estoy asumiendo que $\lambda$ puede intercambiarse entre las dos distribuciones. ¿Es este el caso? He leído brevemente sobre "re-parametrización" y creo que ese podría ser el punto clave, pero no sé a qué se refiere ese proceso. ¿Cómo lo hago y cómo afecta a la PFN y FDA de la distribución exponencial?

Todo esto surgió de un problema que preguntaba: Dada una variable aleatoria X que sigue una distribución exponencial con lambda = 3, encontrar P(X > 8). Mi enfoque fue $ e^{-3*8} $, lo cual da una probabilidad que parece demasiado baja.

Answer 1

Supongamos que estoy esperando un autobús en una parada. Y supongamos que un autobús suele llegar a la parada cada 10 minutos. Ahora defino λ como la tasa de llegada de un autobús por minuto. Entonces, λ = (1/10).

Ahora quiero calcular la probabilidad de que no llegue ningún autobús en el próximo minuto. Puedo hacerlo usando tanto la distribución de Poisson como la exponencial.

Poisson

λ = 1/10

Probabilidad de 0 llegadas en el próximo minuto: P(X = 0) = 0.9048

Exponencial

λ = 1/10

Probabilidad de tener que esperar más de 1 minuto: P(X>1) = 0.9048

Nota: Observa los valores esperados de ambas distribuciones. Para Poisson, obtenemos que el número promedio de autobuses que llegan por minuto E(X) = λ = 0.10 autobuses. Para exponencial, el tiempo de espera promedio para que llegue un autobús E(X) = (1/λ) = 10 minutos

Answer 2

El hecho de que ambas distribuciones utilicen el mismo parámetro probablemente sea una coincidencia derivada de una convención notacional. Después de todo, una variable aleatoria es discreta y la otra es continua. Nunca deberían modelar exactamente lo mismo.

Sin embargo, a veces no es una coincidencia. Un caso en el que estos parámetros pueden significar cosas similares, y donde puedes usar cualquiera de estas distribuciones en la misma tarea de modelado, es cuando estás usando un proceso de Poisson. Esto sería útil en una situación donde estás modelando cosas que llegan aleatoriamente en el tiempo (por ejemplo, recibiendo mensajes de texto en tu teléfono celular). Supongamos que comienzas a medir en el tiempo $0$. Fijando cualquier tiempo $t > 0$, podrías llamar al total recibido hasta ese momento $N_t$ y asumir $$ N_t \sim \text{Poisson}(\lambda t); $$ aquí, $\lambda$ es una tasa medida en llamadas por unidad de tiempo.

También podrías mirar los tiempos de espera entre mensajes de texto $X_1, X_2, \ldots$ y asumir que $$ X_i \overset{iid}{\sim} \text{Exponencial}(\lambda); $$ aquí, $\lambda$ también es una tasa (si estás escribiendo la densidad de la manera en que lo haces en esta pregunta). Los tiempos de llegada de cada mensaje de texto son las sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$.

La relación entre estas dos distribuciones en esta situación particular es la siguiente: dado un número entero $n$ y un tiempo $t$, $$ P(S_n \le t) = P(N_t \ge n). $$ En el caso especial donde $n = t = 1$, ambas de estas expresiones son iguales a $1 - e^{-\lambda}$.

Answer 3

Los lambdas son intercambiables en ciertos contextos. Supongamos que estoy midiendo la radioactividad con un contador Geiger. En un caso, $\lambda=2$ significa que en promedio obtengo 2 clics por segundo, y el tiempo promedio entre clics es de $1/2$ segundos. El número de clics por segundo proviene de una distribución de Poisson, y el tiempo entre clics proviene de una distribución exponencial, con ambos teniendo $\lambda=2$.

Answer 4

¿Esto de Wikipedia resume la relación de una manera simple?

Si para cada t > 0 el número de llegadas en el intervalo de tiempo [0, t] sigue la distribución de Poisson con media λt, entonces la secuencia de tiempos entre llegadas son variables aleatorias exponenciales independientes e idénticamente distribuidas con media 1/λ.

Referencia: S. M. Ross (2007). Introducción a los modelos de probabilidad (novena ed.). Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-598062-3. pp. 307-308.

Answer 5

Como se indica en la respuesta de Taylor, hay una conexión entre la distribución exponencial y la distribución de Poisson a través de la equivalencia de ciertas declaraciones de probabilidad relacionadas con un proceso de Poisson. Matemáticamente, esta equivalencia viene de una propiedad de recurrencia de la función gamma incompleta, que se puede usar para mostrar la equivalencia probabilística en cuestión.

En un proceso de Poisson tenemos eventos ocurriendo a una tasa especificada $\lambda > 0$ y podemos analizar el proceso mirando ya sea el tiempo entre eventos, o el número de eventos en un tiempo dado. Para hacer lo primero, sea $X_1, X_2, X_3, ... \sim \text{IID Exp} (\lambda)$ el tiempo entre eventos en el proceso, y definamos las sumas parciales $S_n \equiv \sum_{i=1}^n X_i$, que representan el tiempo tomado para los primeros $n$ eventos. Entonces tenemos $S_n \sim \text{Ga} (n, \lambda)$ de forma que:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) = 1 - \mathbb{P}(S_n >t) &= 1 - \int\limits_t^{\infty} \text{Ga} (s|n, \lambda) ds \\ &= 1-\frac{\lambda^n}{\Gamma (n) } \int\limits_t^{\infty} s^{n-1} \exp (- \lambda s) ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_t^{\infty} (\lambda s) ^{n-1} \exp (- \lambda s) \lambda ds \\ &= 1-\frac{1}{\Gamma (n)} \int\limits_{\lambda t}^{\infty} r^{n-1} \exp \left( - r \right) dr \\ &= 1-\frac{\Gamma(n, \lambda t)}{\Gamma (n)}. \\ \end{aligned} \end{equation}$$

Usando la integración por partes, la función gamma incompleta superior sigue la recurrencia:

$$\begin{matrix} \Gamma (n, x) = (n-1) \Gamma(n-1, x) + x^{n-1} \exp (-x) & & \Gamma (1, x) = \exp(-x). \end{matrix}$$

Para $n$ entero, la aplicación repetida de esta recurrencia da como resultado:

$$\Gamma (n, x) = \Gamma (n) \exp (-x) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}.$$

Entonces, si permitimos que $N_t \sim \text{Pois} (\lambda t)$, tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(S_n \leqslant t) &= 1- \exp (-\lambda t) \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\lambda t)^k}{k!} \\ &= 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \sum_{k=n}^{\infty} \text{Pois} (k|\lambda t) \\ &= \mathbb{P} (N_t \geqslant n). \end{aligned} \end{equation}$$

Esto nos da un resultado intuitivo básico para el proceso de Poisson. Si el tiempo tomado para los primeros $n$ eventos no es mayor que $t$ entonces el número de eventos que han ocurrido en el tiempo $t$ es al menos $n$. Si el tiempo entre eventos sigue una distribución exponencial entonces el número de eventos en un tiempo dado sigue una distribución de Poisson.