La primera afirmación no es del todo correcta - $C([0,1])$ es un álgebra C* conmutativa, pero no un álgebra AW*, aunque sus únicas proyecciones sean las funciones constantes 0 y 1, lo que sin duda constituye un álgebra booleana completa. Sin embargo, es cierto que las álgebras AW* son precisamente las rango real cero C*-álgebras cuyas proyecciones forman una red completa. En el caso conmutativo, esto se corresponde con el hecho de que un espacio topológico es extremadamente desconectado si es totalmente desconectado y sus conjuntos abiertos forman una red completa. Debería haberlo mencionado yo mismo en el post anterior al que te refieres.
Para representar una álgebra C* abstracta $A$ concretamente en un espacio de Hilbert $H$ normalmente consideramos el representación universal $\pi=\bigoplus\pi_\phi$ donde $\phi$ abarca todos los estados de $A$ y $\pi_\phi$ proviene de la construcción GNS, como usted menciona. No estoy seguro de si esto responde a su pregunta, pero se puede demostrar que $\pi[A]$ no es una subálgebra de von Neumann de $B(H)$ es decir $\pi[A]\neq\pi[A]''$ no sólo para el álgebra AW* que tenía en mente, sino también para cualquier álgebra C* de dimensión infinita $A$ . Esto se debe a que puede identificar $\pi[A]\subseteq\pi[A]''$ con $A\subseteq A^{**}$ y las álgebras C* son reflexivas si y sólo si son de dimensión finita (véase Dimensión finita $C^*$ -algebras ). Así que, por extraño que parezca, incluso un álgebra de von Neumann $A$ puede representarse fielmente como no -subálgebra débilmente cerrada de $\mathcal{B}(H)$ siempre que $A$ es de dimensión infinita.
Otra posibilidad es representación atómica donde $\phi$ de arriba abarca sólo los estados puros, lo que sigue siendo fiel en $A$ . Pero aquí también podemos demostrar que $\pi[A]\neq\pi[A]''$ siempre que $A$ es de dimensión infinita, incluso construyendo una proyección $p\in\pi[A]''\setminus\pi[A]$ (que quizá sea más lo que busca). Para ver esto, primero hay que tener en cuenta que basta con considerar unital $A$ - de lo contrario $1\in\pi[A]''\setminus\pi[A]$ . Tomemos ahora una subálgebra C* conmutativa máxima $B$ de $A$ que contiene necesariamente la unidad y es también de dimensión infinita. Identifique $B$ con $C(X)$ donde $X$ es el espacio de todos los estados puros en $B$ con la topología débil*. Como $B$ es unital, $X$ es compacto, y como $B$ es de dimensión infinita, $X$ es infinito. Pero los espacios discretos infinitos no son compactos por lo que $X$ debe contener un punto no aislado $\phi$ que puede extenderse a un estado puro en todos los $A$ . Así pues, tenemos $v\in H$ con $\phi(a)=\langle\pi(a)v,v\rangle$ para todos $a\in A$ (y $T\mapsto\langle Tv,v\rangle$ es ciertamente una función débilmente continua en $\mathcal{B}(H)$ ). En $\{\pi(b):b\in B^1_+\text{ and }\phi(b)=0\}$ es dirigida, tiene un supremum $p\in\pi[B]''$ con $\langle pv,v\rangle=0$ . Pero $B$ es conmutativa por lo que $\pi[B]\subseteq\pi[B]'$ y por lo tanto $\pi[B]''\subseteq\pi[B]'$ . Por lo tanto, si tuviéramos $q\in A$ con $\pi(q)=p$ entonces tendríamos $q\in B'$ y por lo tanto $q\in B$ por maximalidad. Como $b\leq q$ para todos $b\in B^1_+$ con $\phi(b)=0$ debemos tener $q=1$ como $\phi$ no está aislado. Pero $1=\phi(1)=\langle\pi(1)v,v\rangle=\langle\pi(q)v,v\rangle=\langle pv,v\rangle=0$ una contradicción. Por lo tanto $p\notin\pi[A]$ .
Para garantizar que $\pi[A]=\pi[A]''$ debemos restringirnos a una clase diferente de estados en $A$ a saber normal estados. Y si no hay suficientes (por ejemplo, ninguno en el ejemplo de Dixmier), entonces $\pi$ ya no será fiel.
