Cómo funciona la exponenciación con números hiperreales infinitesimales

Question

Dado un número infinitesimal hiperreal $\epsilon$ es significativo tomar su raíz cuadrada, $\sqrt{\epsilon}$ o cualquier otra raíz? ¿Y si se utiliza como exponente, como en $2^{\epsilon}$ ? ¿Y qué hay de algo como $\epsilon^{\epsilon}$ .

He buscado en algunas fuentes como Cálculo infinitesimal de Henle pero no pude encontrar nada sobre cómo o si la exponenciación funciona con infinitesimales hiperrealistas.

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, cualquier función real se extiende canónicamente a una función hiperreal, a veces llamada la extensión natural. Entonces puedes aplicar el teorema de Łoś/el principio de transferencia para aplicar cualquier identidad que conozcas para las funciones reales a su extensión hiperreal.

Del libro que mencionaste, Cálculo Infinitesimal de Henle, Capítulo 3:

Supongamos que $f$ es una función sobre el reales en nuestro idioma $L.$ ¿Cómo definimos $f$ en el hiperreales ? Supongamos que $j$ es un hiperrealista, ¿Qué es $f(j)$ ?

Bueno, $j$ es la secuencia $j(1), j(2), j(3), j(4), \dots,$ por lo que definimos $f(j)$ para ser la nueva secuencia

$$f(j(1)), f(j(2)), f(j(3)), f(j(4)), \dots$$

He aquí un posible problema: supongamos que $j$ y $k$ representan el mismo hiperreal. Entonces $f(j)$ y $f(k)$ deberían representar el mismo hiperreal. ¿Lo hacen? Ciertamente, para que

$$A=\{n\mid j(n)=k(n)\}$$

y

$$B=\{n\mid f(j(n))=f(k(n))\}.$$

Sabemos que $A$ es cuasi-grande y podemos comprobar fácilmente que

$$A\subseteq B.$$

Así, $B$ debe ser cuasi-grande así que $f(j)$ y $f(k)$ representan el mismo número. En este caso $f$ era una función de 1 lugar, pero las funciones de 2 lugares, 3 lugares y otras funcionan de la misma manera.