¿Encontrar el límite de $(\frac{1}{2} \frac{3}{4} ...... \frac{2n -1}{2n})$?

Question

¿Encontrar el límite de <span class="math-container">$(\frac{1}{2} \frac{3}{4} ...... \frac{2n -1}{2n})$</span>?

Yo he calculado a través de calcular el límite del término general <span class="math-container">$a_{n} = \frac{2n -1}{2n}$</span> y que era igual a 1, ¿estoy correcto?

Answer 1

Que <span class="math-container">$$ a_n = \frac12\frac34\cdots\frac {2n-1} {2n} $$</span> y <span class="math-container">$$ b_n = \frac23\frac45\cdots\frac {2n} {2n +1} $$</span> entonces, porque <span class="math-container">$$ \frac k {k+1} \lt\frac {k+1} {k +2} $$</span> tenemos <span class="math-container">b_n de a_n\lt $$ $$</span> y por lo tanto, a_n <span class="math-container">$$ ^ 2\lt a_nb_n = \frac1{2n+1} $$</span> así, <span class="math-container">$$ a_n\lt\frac1 {\sqrt {2n +1}} $$</span>

Answer 2

Desea calcular <span class="math-container">$$\lim{n \rightarrow +\infty} \prod{k=1}^n \frac{2k-1}{2k}$ $</span>

Tienes <span class="math-container">$$ \ln \left( \prod{k=1}^n \frac{2k-1}{2k} \right) = \sum{k=1}^n \ln \left( 1 - \frac{1}{2k} \right)$ $</span>

Por otra parte, <span class="math-container">$$\ln \left(1-\frac{1}{2k}\right) \sim - \frac{1}{2k}$ $</span> que es el término general de una serie divergente.

Por lo tanto, la serie <span class="math-container">$\sum \ln \left( 1 - \frac{1}{2k} \right)$</span> diverge a <span class="math-container">$-\infty$</span>. Por lo original del producto converge a <span class="math-container">$0$</span>.

Answer 3

Con una integral de Wallis:

Es conocido y puede ser probada por inducción <span class="math-container">$$\int_0^{\tfrac\pi 2}\sin^{2n}x\,\mathrm dx= \frac\pi2\,\frac{1\cdot 3\,\dots (2n-1)}{2\cdot 4\,\dots (2n)}$ $</span> para <span class="math-container">$$\frac{1\cdot 3\,\dots (2n-1)}{2\cdot 4\,\dots (2n)}=\frac2\pi\int_0^{\tfrac\pi 2}\sin^{2n}x\,\mathrm dx,$ $</span> y la integral converge a <span class="math-container">$0$</span> por el dominado Teorema de convergencia.

Answer 4

I. El límite de $a_n$ $$ a_n=\frac{2n-1}{2n}\implica a_n=1-\frac{1}{2n} $$ $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{2n})=1 $$

---

II. El límite de su producto (una aproximación)

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot ...\cdot\frac{2(n-1) -1}{2(n-1)} \cdot\frac{2n -1}{2n}=(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{4})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n}) $$

El lado derecho es igual a: $$ [1-0-\frac{1}{2}](1-\frac{1}{4})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n}) $$ $$ [1-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}](1-\frac{1}{6})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n})= $$ $$[1-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}](1-\frac{1}{8})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n})= $$ $$[1-\frac{35}{48}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{8}](1-\frac{1}{10})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n})= $$ $$[1-\frac{2887}{3840}-\frac{1}{10!!}](1-\frac{1}{12})\cdot ...\cdot(1-\frac{1}{2(n-1)})(1-\frac{1}{2n})= $$ $$... $$ $$=1-A_n+(-1)^{n} \displaystyle \prod_{j=1}^{n}\frac{1}{2j} $$ ¿Qué me puede decir acerca de la $A_n$ al menos es $$A_n\rightarrow 1+\frac{(-1)^{n}}{2n!} $$

Por lo tanto $$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1-A_n+(-1)^{n} \displaystyle \prod_{j=1}^{n}\frac{1}{2j})=1-1 +0=0 $$