El subconjunto abierto de$\mathbb{R}$ puede escribirse como una unión contable de intervalos abiertos separados, ¿intuición?

Question

He aquí la prueba de esta proposición de mi Verdadero Análisis de libros de texto.

La proposición 1.5. Supongamos $G \subset \mathbb{R}$ está abierto. A continuación, $G$ puede ser escrito como la contable de la unión de distintos intervalos abiertos.

Prueba. Deje $G$ ser un subconjunto de la recta real y para cada una de las $x \in G$, vamos$$A_x = \inf\{a : \text{there exists }b\text{ such that }x \in (a, b) \subset G\}$$and$$B_x = \sup\{d : \text{there exists }c \text{ such that }x \in (c, d) \subset G\}.$$Let $I_x = (A_x, B_x)$.

Podemos demostrar que $x \in I_x \subset G$. Si $y \in I_x$,$y > A_x$, y por tanto no existe $a$ $b$ tal que $A_x < a < y$$x \in (a, b) \subset G$. Debido a $y < B_x$ existe $c$ $d$ tal que $y < d < B_x$$x \in (c, d) \subset G$. El punto de $x$ es en tanto $(a, b)$$(c, d)$, por lo que su unión $J = (\min(a, c), \max(b, d))$ es un intervalo abierto. $J$ será un subconjunto de a $G$ debido a que tanto $(a, b)$$(c, d)$. Tanto en $x$ $y$ son mayores de $a > A_x$ y menos de $d < B_x$, lo $x \in I_x$$y \in J \subset G$.

Estamos próximos a argumentar que si $x \neq y$, entonces cualquiera de las $I_x \cap I_y = \emptyset$ o de lo $I_x = I_y$. Supongamos $I_x \cap I_y \neq \emptyset$. A continuación, $H = I_x \cup I_y$ es la unión de dos intervalos abiertos que se cruzan, por lo tanto es un intervalo abierto, y por otra parte $H \subset G$. Vemos que $H = (\min(A_x, A_y), \max(B_x, B_y))$. Ahora $x \in I_x \subset J \subset G$. Se desprende de la definición de $A_x$ que $A_x \le \min(A_x, A_y)$, lo que implica que $B_x \ge B_y$. Por lo tanto $I_y \subset I_x$. Invirtiendo los roles de $x$ $y$ muestra que $I_x \subset I_y$, por lo tanto $I_x = I_y$.

Por lo tanto, han establecido que el $G$ es la unión de una colección de abrir los intervalos de $\{I_x\}$, y cualquiera de los dos son distintos o iguales. Queda por demostrar que no son sólo countably muchos de ellos. Cada intervalo abierto contians un número racional y lo racional números que corresponden a los distintos abrir los intervalos deben ser diferentes. Dado que sólo hay countably muchos racionales, el número de distinto abrir los intervalos que componen $G$ debe ser contable.

Puedo seguir esta prueba en línea por línea, pero tengo curiosidad. ¿Qué es la intuición detrás de esta prueba? ¿Cuáles son los uno a tres ideas clave de esta prueba se reduce a?

Answer 1

Conjuntos conectados de $\mathbb{R}$ son intervalos.

Usted es la descomposición de un conjunto abierto en sus componentes conectados. La prueba como se dijo, es una manera de evitar esta terminología, pero la idea es la misma. Sólo tiene el tecnicismo para demostrar que los intervalos (que son los componentes conectados) son de hecho abrir los intervalos, pero es fácil ver por qué deben ser (si no lo fueron, ya que el conjunto es abierto, usted sería capaz de encontrar una más grande conectado con el extremo de la supuesta no-intervalo abierto).

El countability de familia es un resultado del hecho de que usted puede elegir un distinto número racional en cada uno de ellos.

Answer 2

@fleablood bastante tiene en su comentario.

Dado un conjunto abierto $G \subset \mathbb{R}$, para cualquier punto de $p \in G$ debe haber una bola de $U_p = (p - \epsilon, p + \epsilon)$ $p$ donde $U_p \subset G$.

Por lo tanto $G$ puede ser escrito como una unión de intervalos abiertos:

$$G = \bigcup_{p \in G} U_p$$

Sólo tenemos que hacer de esto una contables de la unión de alguna manera.

Para ello, tenemos básicamente la unión de todos los superposición $U_p$ intervalos (el uso de su suprema y infima como se detalla en la prueba) en un conjunto de distintos intervalos abiertos $\{I_x\}$ ($G$'s los componentes conectados).

Ahora cada intervalo de $I_x$ pueden ser indexados por un escogido número racional que contiene (ya que los racionales son densos en $\mathbb{R}$). También sabemos que los racionales son numerables, por lo que la colección de $\{I_x\}$ también es contable.