¿Cuál es la circunferencia (longitud de arco) de $x^4 + x^2 + y^4 + y^2 = 2$?

Question

Tener en cuenta

$$x^4 + x^2 + y^4 + y^2 = 2$$

Es un círculo de intersección no liso como la curva en el plano.

Un poco como una Hyperellipse.

Ver https://en.m.wikipedia.org/wiki/Superellipse

¿Cuál es la circunferencia (longitud de arco) de $x^4 + x^2 + y^4 + y^2 = 2$?

Wolfram | Trama de la alfa

Answer 1

En coordenadas polares: $$r^4\cos^4t+r^2\cos^2t+r^4\sin^4t+r^2\sin^2t=2$$ $$r^4\left(\cos^4t+\sin^4t\right)+r^2-2=0$$ $$r^2=\frac{-1+\sqrt{1+8\left(\cos^4t+\sin^4t\right)}}{2\left(\cos^4t+\sin^4t\right)}$$

Ahora la longitud del arco de coordenadas polares es$$\int_0^{2\pi}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{dt}\right)^2}dt$$, por Lo que aparece que usted tiene un reto integral para calcular, y puede ser necesario recurrir a una aproximación técnica.

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Nota: $$4r^3\left(\cos^4t+\sin^4t\right)\frac{dr}{dt}+r^4\cdot4\left(-\cos^3t\sin t+\sin^3t\cos t\right)+2r\frac{dr}{dt}=0$$ $$\frac{dr}{dt}=\frac{2r^3\sin t\cos t\left(\cos^2t-\sin^2t\right)}{2r^2\left(\cos^4t+\sin^4t\right)+1}=\frac{2r^3\sin t\cos t\left(\cos^2t-\sin^2t\right)}{\sqrt{1+8\left(\cos^4t+\sin^4t\right)}}$$ $$\left(\frac{dr}{dt}\right)^2=\frac{4r^6\sin^2 t\cos^2 t\left(\cos^2t-\sin^2t\right)^2}{1+8\left(\cos^4t+\sin^4t\right)}$$

Usted puede utilizar esto para tratar de conquistar a la integral, o usted puede usar esto para ayudar con una aproximación técnica, como dice la Regla de Simpson (donde sería conveniente integrar de $0$ $\frac{\pi}{4}$y el óctuple el resultado).

El uso de Simpson, con $n=2$ $[0,\pi/4]$ y, a continuación, óctuple: $$8\cdot\frac{\pi}{24}\left(1+4\sqrt{\frac{-1+\sqrt{7}}{3/2}+\frac1{28}\left(\frac{-1+\sqrt7}{3/2}\right)^3}+\sqrt{-1+\sqrt{5}}\right)\approx6.6923\ldots$$ which is within $0.16\%$ de Roberto Arce decimal de salida.

Answer 2

Usando la forma polar, arce evalúa la integral a 30 dígitos $6.68187645290337621429065046080$. La Calculadora simbólica inversa de arce identificar función y que ambos llegan a nada.

Me imagino que la probabilidad de que éste tenga una solución de "forma cerrada" es más bien pequeña.

Answer 3

Fácil de estimación: $2\pi = 6.28\ldots \le s \le 8$. $$ u = x^2 + 1/2 \Rightarrow u^2 = x^4 + x^2 + 1/4 \\ v = y^2 + 1/2 \Rightarrow v^2 = y^4 + y^2 + 1/4 $$ Entonces $$ r^2 = (\sqrt{2+1/2})^2 = u^2 + v^2 = x^4 + x^2 + y^4 + y^2 + 1/2 \ffi \\ 2 = x^4 + x^2 + y^4 + y^2 \quad (*) $$ Así que la transformada de la curva es un círculo en el $u$-$v$-plano con el radio de $r = \sqrt{5/2}$ y tiene el conocido arco de longitud $S = \pi \sqrt{10}$.
Yo buscaba una manera de transformar esta longitud de arco en el que quería longitud de arco $s$, pero no tuvo éxito.

Para la mitad superior de la curva, se obtiene: \begin{align} v &= \sqrt{r^2 - u^2} \iff \\ y^2 + 1/2 &= \sqrt{9/4 - x^2 - x^4} \iff \\ y &= \sqrt{\sqrt{9/4 - x^2 -x^4} - 1/2} \quad (**) \\ \end{align}

Esto conduce a la derivada \begin{align} y' &= \frac{1}{2\sqrt{\sqrt{9/4 - x^2 -x^4} - 1/2}} \frac{-2x-4x^3}{2\sqrt{9/4 - x^2 -x^4}} \\ &= - \frac{\sqrt{2}\,x\,(1 + 2x^2)}{\sqrt{\left(9 - 4x^2(1+x^2)\right) \left(\sqrt{9 - 4x^2(1+x^2)} - 1\right)}} \end{align} La longitud del arco es \begin{align} s &= 4 \int\limits_0^1\sqrt{1 + (y')^2} \, dx \\ &= 4 \int\limits_0^1\sqrt{1 + \frac{2\,x^2\,(1 + 2x^2)^2}{\left(9 - 4x^2(1+x^2)\right) \left(\sqrt{9 - 4x^2(1+x^2)} - 1\right)}} \, dx \\ &= 6.68188 \end{align} donde la redondeado valor numérico obtenido de WolframAlpha.

Una alternativa de consulta mediante la simplificación de la ecuación de $(**)$ es este. El resultado tiene que ser multiplicada por $4$ sin embargo.

Anexo

Alex Jordan señaló que $y' \to -\infty$$x \to 1$, ver WA parcela. Vamos tan sólo para la primera 1/8 de el arco, se que hay un punto de $(\xi,\xi)$: $$ 2 = \xi^4 + \xi^2 + \xi^4 + \xi^2 = 2\xi^2(\xi^2+1) \ffi \\ 1 = \xi^4 + \xi^2 = (\xi^2 + 1/2) - 1/4 \Rightarrow \\ \xi = \sqrt{(\sqrt{5} - 1)/2} = \sqrt{\varphi - 1} = 0.78615\ldots $$ donde $\varphi = 1.618\ldots$ es la proporción áurea.

Esto lleva a \begin{align} s &= 8 \int\limits_0^\xi\sqrt{1 + (y')^2} \, dx \\ &= 8 \int\limits_0^\xi\sqrt{1 + \frac{2\,x^2\,(1 + 2x^2)^2}{\left(9 - 4x^2(1+x^2)\right) \left(\sqrt{9 - 4x^2(1+x^2)} - 1\right)}} \, dx \\ \end{align} Nueva consulta: enlace

Answer 4

Permítanos primero reescribir en la esperanza de tal vez Parametriza la curva él.

\begin{align} x^4+x^2+y^4+y^2=2\iff{}&\left(x^2+\frac12\right)^2+\left(y^2+\frac12\right)^2-\frac12=2\iff{} \ {}\iff{}&\frac25\left(x^2+\frac12\right)^2+\frac25\left(y^2+\frac12\right)^2=1. \end{align}

Por lo que debemos tener $t$ tal que:

$$ \left{\begin{array}{c} \sqrt{\frac25}\left(x^2+\frac12\right)=\cos t \ \sqrt{\frac25}\left(y^2+\frac12\right)=\sin t \ \end{array}\right. \iff \left{\begin{array}{c} x^2=-\frac12+\sqrt{\frac52}\cos t \ y^2=-\frac12+\sqrt{\frac52}\sin t \ \end{array}\right.$$

Dividir un par de casos según el signo de $x,y$ (4 casos, creo), luego calcular las integrales de:

$$\gamma(t)=\left(\pm\sqrt{-\frac12+\sqrt{\frac52}\cos t},\pm\sqrt{-\frac12+\sqrt{\frac52}\sin t}\right)$$

con las muestras dependiendo de los casos, suma y listo.