Intervalo de confianza en torno a la relación de dos proporciones

Question

Tengo dos proporciones (por ejemplo, el porcentaje de clics (CTR) en un enlace en un control de la presentación y el CTR en un enlace de un diseño experimental), y quiero calcular un 95% intervalo de confianza en torno a la relación de estas proporciones.

¿Cómo puedo hacer esto? Sé que se puede utilizar el método delta para calcular la varianza de esta relación, pero no estoy seguro de qué hacer, además de que. ¿Qué debería usar como el punto medio del intervalo de confianza (mi observó relación, o la espera de relación que es diferente), y cuántas desviaciones estándar alrededor de esta relación debo tomar?

Debo estar utilizando el método delta varianza? (Yo realmente no se preocupan acerca de la varianza, sólo un intervalo de confianza.) Debo usar Fieller del Teorema, con el Caso 1 (ya me estoy haciendo proporciones, supongo que satisfacer a la distribución normal requisito)? Debo calcular un bootstrap de la muestra?

Answer 1

La manera estándar de hacer esto en epidemiología (donde una relación de proporciones se conoce generalmente como una relación de riesgo) es el primer registro de la transformación de la relación, calcular un intervalo de confianza en la escala logarítmica utilizando el método delta y asumiendo una distribución normal, entonces transformar la espalda. Esto funciona mejor en moderado tamaños de muestra que utilizando el método delta en las no transformadas escala, aunque todavía se comportan mal si el número de eventos en cualquiera de los grupos es muy pequeña, y no completamente si no hay eventos en ninguno de los grupos.

Si hay $x_1$ $x_2$ éxitos en los dos grupos de totales $n_1$$n_2$, luego de lo obvio estimación del cociente de proporciones es $$\hat\theta = \frac{x_1/n_1}{x_2/n_2}.$$

Utilizando el método delta y suponiendo que los dos grupos son independientes y que los éxitos son binomial distribuido, se puede demostrar que los $$\operatorname{Var}(\log \hat\theta) = 1/x_1 - 1/n_1 +1/x_2 - 1/n_2.$$ Tomando la raíz cuadrada de este da el error estándar $\operatorname{SE}(\log \hat\theta)$. Suponiendo que $\log \hat\theta$ se distribuye normalmente, con un intervalo de confianza 95% para $\log \theta$ $$\log \hat\theta \pm 1.96 \operatorname{SE}(\log \hat\theta).$$ Exponentiating esto le da un 95% de intervalo de confianza para el cociente de proporciones $\theta$ $$\hat\theta \exp\left[ \pm1.96 \operatorname{SE}(\log\hat\theta)\right].$$