¿Cómo demostrar que la tangente corta a través de un punto cuando tiene un orden extraño?

Question

Me di cuenta de que cuando una línea recta que es tangente a un polinomio en el punto de $x_1$ se equipara a la de la polinomio, tenemos la repetición de una raíz en el punto de $x_1$.

Vamos a definir un cúbicos función:

$$y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

cuya derivada es igual a:

$$\frac{dy}{dx}=3ax^2+2bx+c$$

En punto de $x_1$, la pendiente es $3ax_1^2+2bx_1+c$. La tangente por el punto de $x_1$ es así:

$$y-y_1=m(x-x_1)$$ $$\implies y-(ax^3_1+bx^2_1+cx_1+d)=(3ax_1^2+2bx_1+c)(x-x_1)$$ $$\implies y=(3ax_1^2+2bx_1+c)x-(2ax_1^3+bx_1^2-d)$$

Esta forma de la tangente es general para todos los cúbico. Podemos equiparar a la de la tangente a la polnomial:

$$ax^3+bx^2+cx+d=(3ax_1^2+2bx_1+c)x-(2ax_1^3+bx_1^2-d)$$ $$\implies ax^3+bx^2-(3ax_1^2+2bx_1)x+(2ax_1^3+bx_1^2)=0$$

Ya sabemos $x-x_1$ es un factor, podemos factor.

$$\implies (x-x_1)[ax^2+bx+ax_1x-(2ax_1^2+bx_1)]=0$$ $$\implies (x-x_1)^2(ax+2ax_1+b)=0$$

Aquí la raíz se repite. Para profundizar en esto me di cuenta de que si $(x-x_1)$ se repite tres veces, luego la tangente corta a través de la línea y que si se repite cuatro veces toca la línea. Me vino a la conjetura de que si la raíz se repite un número de veces, la tangente va a tocar la curva, pero si se repite un número impar de veces, la tangente va a cortar a través de la curva. Pero ¿cómo se podía demostrar esta conjetura?

Answer 1

Deje $p(x)$ ser el polinomio en cuestión, y $t(x)=mx+n$ de la tangente a la polinomio en algún punto de $(x_1,y_1)$.

Ahora, los siguientes argumentos están restringidos a un pequeño barrio de $(x_1,y_1)$. Cómo pequeños depende de $p(x)$. Si tomamos por ejemplo el $p(x) = x^2(x-0.001)$, entonces este polinomio tiene la $x$-eje de la tangente en a$p(x)$$(0,0)$, y este tangente está por encima de la gráfica de $p(x)$ a ambos lados de $(0,0)$ 'cerca' de ese punto, pero el $x$-eje va a cortar a través de la gráfica de nuevo en $(0.001,0)$. Pero esta es la naturaleza de las tangentes, ellos tienen "significado" de la curva sólo 'cerca de' punto de donde se toman.

Así que si la tangente $t(x)$ está por encima o por debajo de $p(x)$ depende del signo de $p(x) - t(x)$: Si la diferencia es inferior a cero, la recta tangente está por encima, si está por encima de cero, el polinomio es de arriba.

La tangente 'atraviesa' el polinomio si y sólo si el signo de $p(x) - t(x)$ cambios al $x$ va desde los más pequeños de $x_1$ mayor que $x_1$. De lo contrario, se quedará en el mismo lado.

Así que tenemos que analizar $p(x) - t(x)$, lo que en sí es un polinomio! Desde el polinomio y la tangente tanto para ir a través de$(x_1,y_1)$,$p(x_1) - t(x_1) = y_1-y_1=0$, lo $x_1$ es una raíz de $p(x) - t(x)$. Esto significa,

$$p(x) - t(x) = (x-x_1)q(x)$$

Para algunos polinomio $q(x)$. Ahora vamos a diferenciar la ecuación, utilizando el producto de la regla de la derecha:

$$p'(x) - t'(x) =(x-x_1)q'(x) + 1\cdot q(x)$$

Ahora, $t(x)$ era no sólo cualquier línea a través de $(x_1,y_1)$, fue la tangente a $p(x)$ en ese punto. Esto significa que tienen la misma derivada en $(x_1,y_1)$ (que es simplemente la constante $m$$t(x)$). Si tomamos en cuenta y enchufe $x=x_1$ en la ecuación anterior, obtenemos:

$$p'(x_1) - t'(x_1) = 0 =(x_1-x_1)q'(x_1) + 1\cdot q(x_1) = q(x_1)$$

Así nos encontramos con los $x_1$ también es una raíz de $q(x)$, y obtenemos

$$p(x) - t(x) = (x-x_1)q(x) = (x-x_1)^2r(x)$$ con un nuevo polinomio $r(x)$.

Que es lo que también se encuentran, cuando se hizo el cálculo manual para un polinomio de grado 3. $r(x)$ puede o no puede tener $x_1$ como root. Si no es así, este proceso se detiene aquí, si no, tenemos

$$p(x) - t(x) = (x-x_1)^2r(x) = (x-x_1)^3s(x)$$

una.s.o. hasta que, finalmente, llegar a un polinomio que no tiene $x_1$ como root (tal vez hasta que sólo una permanece constante). Así que lo que podemos decir es que hay algún valor $k \ge 2$ y algunos polinomio $u(x)$ tal que

$$p(x) - t(x) = (x-x_1)^ku(x)$$

y $u(x_1) \ne 0$

Que es exactamente el término llegó a así. Ahora veamos lo que esto significa para el signo de $p(x) - t(x)$ cerca $x_1$. $u(x_1) \ne 0$ y $u(x)$ ser un polinomio de medios de $u(x)$ es continua, por lo que en algunos (tal vez pequeño barrio de $x_1$ no va a cambiar su signo. No importa si $x < x_1$ o $x > x_1$, cerca de $x_1$ $u(x)$ tendrá el mismo signo.

Veamos ahora el resto del plazo, $(x-x_1)^k$.

Si $k$ es incluso, esta función también de cambiar su signo, siempre será positivo (o $0$$x_1$). En este caso, el signo de $p(x) - t(x) = (x-x_1)^ku(x)$ no va a cambiar al $x$ cambia de un valor de $<x_1$ a un valor de $>x_1$, que, como usted ha notado, significa que la recta tangente $t(x)$ le toque el polinomio $p(x)$ desde un lado.

Si $k$ es extraño, sin embargo, $(x-x_1)^k < 0$$x<x_1$$(x-x_1)^k > 0$$x>x_1$. Así tenemos que en este caso el signo de $p(x) - t(x) = (x-x_1)^ku(x)$ va a cambiar al $x$ cambia de un valor de $<x_1$ a un valor de $>x_1$, que, como usted ha notado, significa que la recta tangente $t(x)$ va a cortar a través de la polinomio $p(x)$.