Poleas de Tor en esquemas

Question

Estaba tratando de entender la definición de "Tor gavillas", pero como es definido en la derivada de la categoría de gavillas de $\mathcal{O}_X$-módulos y ya que no estoy familiarizado con las categorías derivadas estoy bastante confundido y tiene muchos (posiblemente tonto) preguntas en la mente. Agradecería respuestas a las siguientes preguntas:

• Dado un esquema de $X$ y dos $\mathcal{O}_X$-módulos de $\mathcal{F}$$\mathcal{G}$, se puede calcular en la práctica, $Tor_i(\mathcal{F},\mathcal{G})$ simplemente eligiendo cualquier plana resolución de $\mathcal{F}$ (resp. $\mathcal{G}$) y la aplicación de la functor $\_\otimes\mathcal{G}$ (resp. $\_\otimes\mathcal{F}$) y la toma de homologías después?

• ¿Cómo se podía probar que si $0\rightarrow \mathcal{F}'\rightarrow \mathcal{F}\rightarrow \mathcal{F}''\rightarrow 0$ es exacta, entonces hay una larga secuencia exacta

$\dots \rightarrow Tor_{i+1}(\mathcal{F}",\mathcal{G})\rightarrow Tor_i(\mathcal{F}',\mathcal{G})\rightarrow\dots\rightarrow Tor_1(\mathcal{F}",\mathcal{G}) \rightarrow \rightarrow \mathcal{F}'\otimes\mathcal{G}\rightarrow \mathcal{F}\otimes\mathcal{G}\rightarrow \mathcal{F}"\otimes\mathcal{G}\rightarrow 0$

• Es posible definir Tor poleas sin ir a la deriva categoría? No es posible definirlo como una izquierda derivados de functors de $\_\otimes\mathcal{G}$, debido a que no hay suficientes projectives en la categoría de gavillas de $\mathcal{O}_X$-módulos, pero no puede uno evitar este problema considerando plana resoluciones? (He tratado de definir de esta manera, pero aún no podía demostrar que es independiente de la resolución elegida).

Answer 1

Sí a la primera pregunta. Por supuesto, una de las cosas clave que es para mostrar que no importa que la variable que se utiliza. Para ver esta la cosa más fácil es elegir resoluciones para ambos, y considerar la posibilidad de la doble complejo y hacer un argumento con zig-zag. Este argumento se da para el caso de los términos de referencia de los grupos de módulos en la Sección de la Etiqueta de 00LY. Exactamente el mismo funciona para el caso de las poleas de los módulos.

Para tu segunda pregunta, elige un televisor de resolución de $\mathcal{K}_\bullet$$\mathcal{G}$. Entonces tenemos una secuencia exacta corta de complejos $$ 0 \a \mathcal{F}' \otimes \mathcal{G}_\bullet \\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}_\bullet \\mathcal{F}" \otimes \mathcal G_\bullet \a 0 $$ y obtener el largo de la secuencia exacta de los términos de referencia de la aplicación usual de la serpiente lema.

A la tercera pregunta. Sí, usted no necesita utilizar la derivada de la categoría. Para demostrar que los términos de referencia de los grupos son independientes de la plana de la resolución a la que tiene que demostrar que dados dos planos resoluciones $\mathcal G_\bullet$ $\mathcal{G'}_\bullet$ usted obtiene la misma cosa. A continuación, muestra que usted puede encontrar una tercera solución que viene equipado con un mapa para ambos de estos. A continuación, si usted tiene un mapa de la plana resoluciones, entonces usted puede tomar el cono en el mapa y obtener un plano de la resolución de la $0$ gavilla. Por último, usted tiene que demostrar que, si $\mathcal G_\bullet$ es un plano de la resolución de la $0$ gavilla, a continuación, $\mathcal F \otimes \mathcal{G}_\bullet$ es acíclico. Esto se puede hacer con una simple inducción argumento.

El punto es, sin embargo, que muchos de estos argumentos son los mismos en diferentes situaciones y así aprender más general de la teoría (por ejemplo, sobre las categorías derivadas) le ayudará a reconocer situaciones donde la misma cosa funciona. Buena suerte!