Demostrar que $λ^∗(A×B)\geq λ^∗(A)λ^∗(B)$ para cada par de conjuntos, $A \subseteq \mathbb{R}^n$ $B \subseteq \mathbb{R}^m$

Question

Demostrar que $ \lambda^*(A\times B)\geq \lambda^*(A) \lambda^*(B)$ para cada par de conjuntos, $A \subseteq\mathbb{R}^n$ $B \subseteq\mathbb{R}^m$ donde $\lambda^*$ denota el Exterior de Lebesgue Medir y $\lambda$ la Medida de Lebesgue.

Dado $\epsilon>0$, existe un conjunto abierto $G$ tal que $A\times B \subseteq G$$ \lambda^*(A\times B) \geq \lambda(G) - \epsilon$.

Entonces, nomenclatura $G_n$ primera $n$ coordenadas de $G$, e $G_m$ el último $m$ coordenadas de $G$, $A \subseteq G_n$ y $B \subseteq{G_m}$, $G_n$ y $G_m$ están abiertos conjuntos. Por lo tanto, $ \lambda(G_n)\geq \lambda^*(A)$$ \lambda(G_m) \geq \lambda^*(B)$.

Quiero concluir que $\lambda(G) \geq \lambda (G_n\times G_m)$, pero no veo cómo.

Pd: ya he probado: $\lambda(G_n\times G_m) =\lambda (G_n) \lambda (G_m)$.

Answer 1

Prueba. Tenemos $\lambda_{n+m}^*(A\times B)=\inf\{ b_{n+m}(C):A \times B \subseteq C ~ \& ~C \mbox{ is Borel in}~R^{n+m}\}$ donde $b_{n+m}$ es una clásica medida de Borel en $R^{n+m}$(es decir, la restricción de $\lambda_{n+m}$ $\sigma$- álgebra de subconjuntos de Borel $R^{n+m}$).

Deje $C$ ser cualquier conjunto de Borel en $R^{n+m}$ que contiene $A \times B$.

Por el Teorema de Fubini nos han
$$ b_{n+m}(C)=\int_{R^n}b_m(C_x)d b_n(x), $$ donde $C_x$ denota $x$-sección de $C$. Una función de $b_m(C_x):R^n \to R$ es Borel medible. Por lo tanto, un conjunto de $F:=\{ x : b_m(C_x) \ge \lambda^{*}_m(B)\} $ es Borel medible que contiene el conjunto de $A$.

Tenemos $$ b_{n+m}(C)=\int_{R^n}b_m(C_x)d b_n(x) \ge \int_{F}b_m(C_x)d b_n(x)\ge $$ $$ \lambda^{*}_m(B)\times \int_{F}d b_n(x)= \lambda^{*}_m(B)\times b_n(F)\ge \lambda^{*}_n(A) \times \lambda^{*}_m(B). $$

Por lo $C$ fue tomada arbitraria, podemos deducir que
$$\lambda^{*}_n(A) \times \lambda^{*}_m(B) \le \inf\{ b_{n+m}(C):A \times B \subseteq C ~ \& ~C \mbox{ is Borel in}~R^{n+m}\}=\lambda^{*}_{n+m}(A\times B).$$

Answer 2

Iniciar con el siguiente

Reclamo: si $d\geqslant 1$$E\subset \Bbb R^d$, entonces no es un $G_{\delta}$ $S$ (es decir, un contable de intersección de abrir conjuntos), que contiene $E$ y y que tiene la misma medida exterior como $E$.

Para probar esto, tenga en cuenta que podemos asumir el exterior de la medida de $E$ finito, de lo contrario, tome $\Bbb R^d$). A continuación, utilice regularidad: para cada una de las $n$, existe un conjunto abierto $O_n$ contiene $E$ tal que $\lambda^*_d(E)-n^{-1}<\lambda_d(O_n)$.

Esto nos permite deducir el contrario la desigualdad como lo que se menciona en el OP. No estoy seguro de que la igualdad se mantiene.

Answer 3

En general, no podemos concluir que el $λ_{n+m}(G) \ge \lambda_n(G_n) \times \lambda_m(G_m)$ si $\lambda_{n+m}(G)<\lambda_{n+m}^{*}(A \times B)+\epsilon$ $A \times B \subset G$.

Hemos creado $m=n=1$, $\epsilon >0$, $A=(0,1)$, $B=(0,1)$, $G=\{ (x,y): x \in (0,1) \& 0< y < 1+\epsilon \times x \}.$ a Continuación, llegamos $G_1=(0,1)$$G_2=(0, 1+\epsilon)$.

Tenemos

$$\lambda_{2}(G)= 1+\frac{\epsilon}{2} < 1+\epsilon =\lambda_{2}^{*}(A \times B)+\epsilon,$$

pero

$$λ_{2}(G)= 1+\frac{\epsilon}{2} < 1 + \epsilon =\lambda_1(G_1) \times \lambda_1(G_2).$$