Probando $\frac{\arccos\frac15}\pi\not\in\Bbb Q$

Question

¿Cómo se puede demostrar $$\frac{\arccos\frac15}\pi\not\in\Bbb Q$$ Juguetear con los números no me ha llevado a ninguna parte:

Supongamos que $\frac{\arccos\frac15}\pi\in\Bbb Q$ Supongamos que es igual a $\frac ab$ . Entonces $\arccos\frac15=\frac{a\pi}b$ y por lo tanto $\cos\frac{a\pi}b=\frac15$ . Pero, ¿cómo podría esto llevar a una contradicción?

Answer 1

Como ha señalado, obtendríamos que $\cos{\frac{a\pi}{b}}=\frac{1}{5}$ para algunos enteros $a,b,b\neq 0$ . Ahora el problema está terminado por el siguiente lema:

Lema: Supongamos que $a,b$ son números enteros tales que $\cos{\frac{a\pi}{b}}\in\mathbb{Q}$ . Entonces $\cos{\frac{a\pi}{b}}\in\{\pm1,\pm\frac{1}{2}\}$ .

Prueba del lema: Dejemos que $r = \frac{a}{b}$ . Con la fórmula de De Moivre deducimos que $\cos{r\pi}+i\sin{r\pi}$ y $\cos{r\pi}-i\sin{r\pi}$ son enteros algebraicos, por lo que su suma también es un entero algebraico, lo que significa que $2\cos{r\pi}$ es un número entero algebraico. Pero $2\cos{r\pi}\in\mathbb{Q}$ , por lo que debemos tener $2\cos{r\pi}\in\mathbb{Z}$ . Ahora desde $-1\le\cos{r\pi}\le 1$ deducimos que $\cos{r\pi}\in\{\pm 1,\pm\frac{1}{2}\}$ . Con esto termina la demostración del lema.

A partir del lema anterior podemos observar que $\cos{\frac{a\pi}{b}}\neq\frac{1}{5}$ para todos $a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0$ .

Answer 2

Intento una solución diferente, quizás más elemental. Supongo que $b\geq 1$ .

1) Primero hay que tener en cuenta que si $n\geq 1$ , usted tiene $\displaystyle \sum_{k even}{n\choose k}=2^{n-1}$ (cálculo fácil con $(1+x)^n$ y $(1-x)^n$ para $x=1$ .)

2) Obsérvese que como $\cos(a\pi/b)=1/5$ obtenemos $\sin(a\pi/b)=2\sqrt{6}/5$ . Por lo tanto, por la fórmula de De Moivre

$$(1+2i\sqrt{6})^b=(-1)^a5^b$$

Ahora, utilizando el teorema del binomio, obtenemos que

$$\sum_{l=0}^{[b/2]}{b \choose 2l}2^{2l}(-1)^l6^l=(-1)^a5^b$$ Módulo $5$ tenemos $2^{2l}(-1)^l 6^l$ congruente con $1$ para todos $l$ . Por lo tanto, según 1) obtenemos $2^{b-1}$ divisible por $5$ una contradicción.