Informática: $\lim\limits_{n\to \infty} \int_\Bbb R n\ln\left(1+\left(\frac{f(x)}{n}\right)^a\right) dx$

Question

Deje $f:\Bbb R \to \Bbb R_+$ ser medibles función tal que $$\int_\Bbb Rf(x)dx = c$$

A continuación, calcular $$\lim_{n\to \infty} \int_\Bbb R n\ln\left(1+\left(\frac{f(x)}{n}\right)^a\right) dx$$

Donde $a>0 $ es un parámetro. Mi sensación es que este límite debería ser $\int_\Bbb Rf(x)dx = c$ pero no tengo una buena justificación hasta el momento. alguna ayuda?

Answer 1

Distinguir entre los casos $\alpha<1,\alpha=1, \alpha>1$.

Para $\alpha=1$ uso de $n\ln\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)=\ln\left(\left(1+\frac{f(x)}{n}\right)^n\right)$ $\left(1+\frac{y}{n}\right)^n\rightarrow e^y$ monotono para $y\geq 0$. A continuación, utilice la monotonía de convergencia para tirar el límite bajo de la integral.

Para$\alpha>1$, se puede estimar la integral por el anterior. A continuación, utilice convergencia dominada para tirar el límite bajo de la integral para demostrar que la integral es 0.

Para $\alpha<1$ uso Fatous lema para mostrar que la integral es $\infty$.