Cómo encontrar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones con un parámetro que no puede ser reducido?

Question

Tengo el sistema de ecuaciones lineales donde a $k$ es el parámetro: $$ \begin{cases} x+ky+z = 0 \\ kx+y+kz=0 \\ (k+1)x-y+z=0 \end{casos} $$

Para los que la matriz es: $$ \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ k & 1 & k \\ k+1 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

Me las arreglé para reducir la matriz a: $$ \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 & 1-k^2 & 0 \\ 0 & 2+k & k \end{bmatrix} $$

Sin embargo, no veo cómo esto puede ser reducido aún más. Por lo que yo sé que tengo la forma escalonada para poder determinar cuántas soluciones existen. Debo simplemente enchufe en $k=-2$ con el fin de reducir aún más? Si sí, entonces ¿qué se puede decir sobre el número de soluciones si $k \neq =2$?

EDIT: estoy empezando lineal de los cursos de matemáticas, así que no puedo utilizar ninguna de las técnicas más avanzadas (como determinantes etc.)

Answer 1

Caso 1: Supongamos que $1-k^2 \not=0$ (es decir, $k \not=1, k \not=-1$). Luego podemos agregar $\frac{-(2+k)}{1-k^2}$ veces la segunda fila a la tercera fila. Esto conduce a: $$ \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 & 1-k^2 & 0 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix} $$

Caso 2: Si $1-k^2=0$ ( $k= \pm 1$ ) entonces, lo que tienes arriba es igual a $$ \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2+k & k \end{bmatrix} \a \begin{bmatrix} 1 & k & 1 \\ 0 & 2+k & k \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

Se puede tomar de aquí en ambos casos?

Answer 2

Vamos a llamar a la matriz obtenida $A$, y deje $v = (x,y,z)$. Quieres soluciones para

$$ A\cdot v = \vec{0} $$

Ahora, si $A$ es invertible (he.e $det A \neq 0$), luego a la izquierda-multiplicando por $A^{-1}$ nos

$$ v = \vec{0} $$

Se puede comprobar que, desde el $det A = k(1-k^2)$, esto sólo sucede si $k$ $0, 1$ o $-1$. En cualquier otro caso, $A$ a no es invertible, por lo $v \to A \cdot v$ no es inyectiva y por lo tanto no se $v, w$ tal que

$$ A\cdot v = A\cdot w \iff A\cdot (v -w) = \vec{0} $$

y cualquier multiplicación escalar de $(v-w)$ es una solución así. Así como un análisis general, el sistema no tiene distinto de cero soluciones para $k = 0,1,-1$ y una cantidad infinita para cualquier otro valor de $k$.

Answer 3

El sistema de ecuaciones con parámetros. En lugar de calcular usted puede calcular el determinante de dicha matriz de un sistema, e igualamos a cero, para obtener los puntos singulares.

Para el sistema de ecuación,

$$k(k^2 - 1) = 0 \implies k = 0, \pm 1$$

Así, el sistema de ecuación será singular en $0, \pm 1$.

La ecuación característica para el conjunto de ecuaciones lineales,

$A(A^2 - I) = 0$

Donde $A$ es la matriz de un sistema.