La siguiente pregunta surge de forma natural en mi investigación actual. Parece ser un problema básico en la teoría de la medida, y por lo tanto supongo que las respuestas a la misma se pueden encontrar en algunos libros de texto. Sin embargo, he buscado en algunos libros y no he encontrado nada. Dado que la teoría de la medida no es realmente mi campo de interés (me dedico a la geometría simpléctica), agradecería cualquier observación relevante y/o referencias a un texto que trate esta cuestión.
Dejemos que $\Omega$ sea un dominio acotado en $\mathbb{R}^n$ , dejemos que $M_\mathbb{C}(\Omega)$ denotan el espacio de medidas complejas de Borel sobre $\Omega$ y que $M_+(\Omega)$ denotan el espacio de medidas de Borel positivas sobre $\Omega$ . Para cada medida compleja $\lambda\in M_\mathbb{C}(\Omega)$ la variación total de $\lambda$ , denotado por $|\lambda|$ es una medida positiva. En otras palabras, tenemos $$|\cdot|:M_\mathbb{C}(\Omega)\to M_+(\Omega).$$ Definimos la convergencia débil de las medidas de la manera habitual, cuando se piensa en una medida como un funcional lineal en el espacio de las funciones continuas. En concreto, decimos que la secuencia $\lambda_1,\lambda_2,\ldots$ de medidas converge débilmente a la medida $\lambda$ si tenemos $$\int_\Omega\varphi\lambda_n\to\int_\Omega\varphi\lambda$$ para todo soporte continuo compacto $\varphi:\Omega\to\mathbb{R}$ .
Pregunta: Es $|\cdot|$ continua con respecto a la convergencia débil? Es decir, si la secuencia $(\lambda_n)$ converge débilmente a $\lambda$ ¿se deduce que la secuencia $(|\lambda_n|)$ converge débilmente a $|\lambda|$ ? Si la respuesta es negativa, ¿podemos añadir algunos supuestos sobre las medidas en cuestión para cambiar el panorama?
Mi intuición me dice que la respuesta debería ser positiva sin más suposiciones, pero de nuevo, no lo sé realmente...
Como se ha escrito anteriormente, cualquier observación es bienvenida.
