La identidad implica "la distancia al entero más cercano" de la función

Question

Es un problema de una lista de ejercicios:

Quiero demostrar que, si $||x||$ = la distancia hasta el entero más próximo a $x$, entonces:

$$\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}||2^nx||=||x||(1-2||x||)$$

es verdad en todos los $x \in \mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

Lo que yo he probado hasta ahora:

Sabemos que el conjunto de $D=\{\sum_{k=1}^T\frac{a_k}{2^k}$ donde $a_i = 0, 1 \forall i \in \{1,2,\ldots,T\}; T \in \mathbb{N}\}$ es denso en $(0,1)$. Así, es suficiente para probar la identidad de estos números. Porque entonces, podemos usar la M de Weierstrass de Prueba para garantizar que la identidad es válida para cualquier otro número en $(0,1)$.

¿Por qué estos números específicos? Porque entonces, el infinito suma $\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}||2^nx||$ se convertirá en la finitud y será más fácil trabajar con.

Así, teniendo en cuenta los números de la forma anterior, obtenemos que

$$\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}||2^nx||=\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}\left|\left|2^n\sum_{k=1}^T\frac{a_k}{2^k}\right|\right| = \sum_{k=1}^{T-1}4^{-n}\left|\left|2^n\sum_{k=1}^{T}\frac{a_k}{2^k}\right|\right|. $$

Primera de todas, la manera en que yo construido de forma que los números específicos, no podemos obtener 1, pero eso está bien, porque en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ es 0.

Ahora, tenga en cuenta que:

$||x||=x$ si $0 \leq x \leq 1/2$ y

$||x|| = 1- x$ si $1/2 < x <1$

(Recuerde que estamos trabajando en $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$).

Por lo tanto, si definimos $S_n=2^n\sum_{k=1}^{T-1}\frac{a_k}{2^k}$, obtenemos que $||S_n||=||2^n\sum_{k=1}^{T-1}\frac{a_k}{2^k}||=a_{n+1}-2a_{n+1}S_n+S_n$, porque si $a_{n+1}=0$, $S_n \leq 1/2$ y si $a_{n+1}=1$, $S_n > 1/2$.

Por eso, $$\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}\left|\left|2^n\sum_{k=1}^T\frac{a_k}{2^k}\right|\right|=\sum_{n=1}^{T-1}4^{-n}(a_{n+1}-2a_{n+1}S_n + S_n)$$ $$= \sum_{n=1}^{T-1}\frac{a_{n+1}}{4^n}-\sum_{n=1}^{T-1}\frac{1}{4^n}(2a_{n+1}S_n - S_n)$$ $$=\sum_{n=1}^{T-1}\frac{a_{n+1}}{4^n} + \sum_{n=1}^{T-1}\frac{S_n}{4^n}(1-2a_{n+1})$$ $$=\sum_{n=1}^{T-1}\frac{a_{n+1}}{4^n}+\sum_{n=1}^{T-1}\sum_{i=1}^{T}\frac{a_i}{2^i}\left(\frac{1-2a_{n+1}}{2^n}\right)$$.

Por otro lado, tenemos que $$||x||(1-2||x||)=\sum_{k=2}^{T}\frac{a_k}{2^k}-2\left(\sum_{k=2}^{T}\frac{a_k}{2^k}\right)^2$$.

Estoy teniendo problemas para encontrar una forma de demostrar que las dos expresiones son, de hecho, la igualdad. Traté de escribir la última expresión como un producto de dos series, pero no funcionó...

¿Alguien tiene una sugerencia o una solución?

Gracias!

Answer 1

Un simple, pero por desgracia no relacionados, el argumento sería el primero probar que $$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}4^{-n}||2^n x||$$ es una función continua en a $\mathbb R / \mathbb Z$. Esto es relativamente fácil, por ejemplo, señalando que $4^{-n}||2^n x||$ es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $2^{-n}$ rendimientos que $f$ es Lipschitz continua con constante de Lipschitz $1$.

Ahora, vamos a considerar la métrica en el espacio de funciones continuas en $\mathbb R / \mathbb Z\rightarrow \mathbb R$ dotado de la métrica $$d(f,g)=\sup_{x\in\mathbb R / \mathbb Z}|f(x)-g(x)|$$ y, en este espacio, considere el mapa $$T(g)=x\mapsto\frac{||2x||+g(2x)}{4}.$$ de los cuales, $f$ es, obviamente, punto fijo. La función de $x\mapsto ||x||(1-2||x||)$ es también un punto fijo, a pesar de que la prueba de esto es más tedioso. Por otra parte, $T$ es una contracción de mapa (contratante por un factor de $\frac{1}4$) y por lo tanto tiene más de un punto fijo. Por lo tanto, como tanto $f$ $x\mapsto ||x||(1-2||x||)$ son puntos fijos, son iguales.

(Su trabajo se ve bien, pero no estoy seguro acerca de cómo uno podría completarla; las dos cosas que quiero probar son iguales es bastante diferente en este punto).