desigualdad de logaritmo

Question

¿Por qué $\frac{1}{n+1}

Answer 1

Si n es número entero > 0, entonces usted puede hacer lo siguiente:
1a) $ \qquad {1 \over n+1} reescritura:
1B) $ \qquad {1 \over n+1}

Primero compara los dos términos del lado derecho del 1b). Da de la exponenciación:
2) $ \qquad \qquad \qquad \qquad 1+ {1 \over n} 0$

Ahora comparar los dos términos del lado izquierdo del 1b). Sustituir $m$ $n+1$ donde ahora $m>1$:
3A) $ \qquad {1 \over m} exponentiate:
3B) $ \qquad \exp ({1 \over m}) 3 c) $ \qquad 1 + {1 \over m} + {1 \over m^2 2! } + {1 \over m^3 3! }+\ldots

Answer 2

$\log(n+1) -\log(n) = \int_n^{n+1} {1 \over x}\,dx$. El integrando es entre el ${1 \over n+1}$ ${1 \over n}$ y el intervalo de integración es de la longitud de la $1$, por lo que su integral será entre el${1 \over n + 1}*1 = {1 \over n + 1}$${1 \over n}*1 = {1 \over n}$.

Answer 3

$\frac{1}{n+1} < \log((n+1)/n)~ \Leftrightarrow ~ 1 < \log((1+1/n)^{n+1})$, lo que equivale a $e < (1+1/n)^{n+1}$. Para la segunda desigualdad consigue $e > (1+1/n)^n$. Ambos de estas desigualdades son verdaderas: La segunda es la verdadera, porque $e$ se define como el límite de $(1+1/n)^n$ que es estrictamente monotonly en aumento. El primero es verdadero, porque el $(1+1/n)^{n+1}$ también converge a $e$ y es estrictamente monotonly disminuyendo.

Answer 4

Edmund Landau demuestra

$$1-\frac{1}{x} < \log x < x-1$$

Utilizando el hecho de que

$$ \log x = \lim_{k\to \infty} k\left(x^{1/k}-1\right)$$

Él entonces los estados

$$\sum_{v=0}^{k-1} y^v {\leq \choose \geq} k \text{ ; for } {0 < x \leq 1 \choose x \geq 1}$$

A continuación, poner de $y>0$

$$y^k-1 = (y-1)\sum_{v=0}^{k-1} y^v \geq k(y-1)$$

Por lo tanto si $y = x^{\frac{1}{k}}$

$$x-1 \geq k\left(x^{1/k}-1\right) $$

Para el segundo caso

$$\log{\frac{1}{x}} = - \log x$$ así

$$ \log x = -\log{\frac{1}{x}} \geq 1-\frac{1}{x}$$