Ahora mismo estoy estudiando transformación de Fourier, y estoy preguntando si existe una función $f$ tal que es que serie de Fourier converge uniformemente, la serie de Fourier de $f'$ en $L_2$ y que $f''$ es divergente?
Respuesta
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La función $$ f(t)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\sin((2k+1)2\pi t)\etiqueta{1} $$ es el zig-zag de la función $$ f(t)=\left\{\begin{array}{}\frac{\pi^2}{2}t&\text{for }-\frac14\le t\lt\frac14\\\frac{\pi^2}{2}\left(\frac12-t\right)&\text{for }\hphantom{\,-}\frac14\le t\lt\frac34\end{array}\right.\la etiqueta{2} $$ Desde $f$ es continuo, su serie de Fourier converge uniformemente.
$f'$ no es continua $$ f'(t)=\left\{\begin{array}{}\hphantom{\,-}\frac{\pi^2}{2}&\text{for }-\frac14\lt t\lt\frac14\\-\frac{\pi^2}{2}&\text{for }\hphantom{\,-}\frac14\lt t\lt\frac34\end{array}\right.\la etiqueta{3} $$ Desde $f'$ no es continua, su serie de Fourier no converge uniformemente. Sin embargo, desde la $f'\in L^2$, su serie de Fourier converge en $L^2$. $$ f"(t)=\pi^2\delta\left(t+\frac14\right)-\pi^2\delta\left(t-\frac14\right)\etiqueta{4} $$ donde $\delta$ es la delta de dirac. La serie de fourier para $f''$ no incluso tienden a $0$, por lo que diverge.
