El uso de formas diferenciales y su imagen interpretaciones, me pregunto si es posible dar un buen geométrica y física de la motivación para el formulario de la Electromagnético de Lagrange de la densidad?
El Lagrangiano para el campo electromagnético sin fuentes de corriente en términos de formas diferenciales es $F \wedge * F$ donde $F$ es el exterior derivado de la 4-potencial de $A$. Otra forma de decir esto es que el $F$ es el de cuatro dimensiones curl de un 4-potencial de $A$, es decir, el anti-simétrica parte del flujo de la determinante del Jacobiano de un campo de vectores $A$, y ya que físicamente pueden interpretar de la curvatura de un campo de vectores como el instantáneo de rotación de los elementos de volumen que $A$ actos, parece como si nos puede interpretar variación $F \wedge * F$ como diciendo que estamos tratando de minimizar la instantánea de cuatro dimensiones, el volumen de la rotación del campo electromagnético (ya que el dual de Hodge en 2-formas da 2 formas de " perpendicular a nuestros original, acuñando un formulario con su doble nos da un 4-d de volumen, así que aquí estamos recibiendo la rotación de un elemento de volumen en el espacio-tiempo).
Es eso correcto?
También está la cuestión de la definición de la misma acción sólo que en diferentes espacios, el uso de $F_{ij}F^{ij}$, por lo que una interpretación similar debe existir... Si tengo que interpretar $F_{ab}$ como lo he interpretado $F$ anterior, es decir, un 4-d curl, y $F^{cd}$ igualmente sólo en el espacio dual, a continuación, con el fin de obtener un escalar de estos tengo que tomar la traza de la matriz producto $F_{ab}F^{cd}$, que, me parece, a pesar de que puede ser interpretado como la divergencia del volumen de rotación, minimizando así la acción parece estar diciendo que estamos minimizando el flujo de rotación por unidad de volumen.
Es esto correcto?
Si estas interpretaciones son de alguna manera válida, ¿alguien puede sugerir una interpretación similar de la $A_idx^i$ plazo en el Lagrangiano, ya sea cuando estamos llegando a la fuerza de Lorentz de la ley o de las otras ecuaciones de Maxwell? Vagamente a pensar acerca de la interpretación de este término en los términos y obtención de las ecuaciones de Maxwell insinúa lo que he escrito arriba para tener al menos algo de validez!
Curiosamente, si es correcto me imagino que todo esto tiene una fantástica interpretación global en términos de los haces de fibras, si alguien ve una relación que sería interesante.
(La página 9 de este pdf es donde me estoy poniendo esta interpretación de la divergencia y la curvatura a través de la Jacobiana, y estoy mezclando con la interpretación geométrica de la diferencial de formas ala MTW de la Gravitación)
Entiendo Landau matemáticos de la derivación de la $F_{ij}$ campo tensor, Lorentz invariante escalar w.r.t. a la Minkowski interior del producto, la linealidad de la MOE, y eliminando la dependencia directa de los potenciales, pero físico motivación del formulario es insuficiente. Ya que se puede interpretar libremente minimizar $\mathcal{L} = T - V$ como minimizar el exceso de cinética más la energía potencial sobre la trayectoria de una partícula, y para una partícula libre simplemente como la minimización de la energía, no veo por qué una interpretación libre de la EM de Lagrange no puede ser dado. Todos los pensamientos son bienvenidos.
Referencias:
- Matemáticas 733: Campos Vectoriales, Formas Diferenciales, y Cohomology, Conferencia notas, R. Jason Perejil
- Warnick, Selfridge, Arnold - La Enseñanza De La Teoría Del Campo Electromagnético Utilizando Formas Diferenciales
