Definir
$$ L(\theta) = \int_{0}^{\theta} \frac{f'(e^{it})}{f(e^{it})} ie^{it} \, dt. $$
Entonces es fácil comprobar que $L$ $C^{\infty}$- función de la satisfacción de
$$f(e^{i\theta}) = f(1) e^{L(\theta)}. $$
Así
$$ \frac{\prod_{z^{n} = 1} f(z)}{\prod_{z^{n} = -1} f(z)} = \exp\left[ \sum_{k=1}^{n} L\left( \frac{2k \pi}{n} \right) - \sum_{k=1}^{n} L\left( \frac{(2k-1) \pi}{n} \right) \right] $$
Por la del teorema de Taylor, la suma dentro de la función exponencial es escrito como
$$ \sum_{k=1}^{n} L\left( \frac{2k \pi}{n} \right) - \sum_{k=1}^{n} L\left( \frac{(2k-1) \pi}{n} \right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} L'\left( \frac{2k \pi}{n} \right) \frac{2\pi}{n} + O\left(\frac{1}{n}\right).$$
(Aquí, el Big-Oh plazo está fuera de la suma.) Por lo tanto, teniendo $n \to \infty$, converge a
$$ \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} L'(\theta) \, d\theta = \frac{L(2\pi) - L(0)}{2} = \frac{1}{2} \int_{|z| = 1} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz.$$
Pero sabemos que
$$ \frac{1}{2\pi i} \int_{|z| = 1} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz $$
cuenta el número de $N$ de los ceros de $f(z)$, con la multiplicidad, dentro de la unidad de disco. Por lo tanto, tenemos
$$ \lim_{n\to\infty} \frac{\prod_{z^{n} = 1} f(z)}{\prod_{z^{n} = -1} f(z)} = e^{iN\pi} = (-1)^{N}. $$
