Ayuda con el Probabilty of Rolling Two Ten-Sided dados múltiples veces hasta 100 se alcanza

Question

Necesito un poco de ayuda para encontrar la probabilidad de alcanzar o exceder de 100 basado en una serie de rodillos de dos, diez caras de los dados. Aquí está el escenario.

Estoy empezando desde cero. Estoy rodando dos (justo) diez caras de los dados, para generar un resultado de entre 2 y 20. Después del rollo, estoy grabando el número de rodados como el "total" y, a continuación, rodando de nuevo. Yo estoy tomando el resultado de nuevo y añadir el total, luego de rodar de nuevo y así sucesivamente. Estoy tratando de tener el total de alcanzar o superar los 100.

Ejemplo: En mi primer rollo, tengo 12. Puedo grabar 12 y se vuelve a tirar. En mi segundo rollo, tengo 7. Puedo agregar 7 a la corriente total de 12 para tener un total de 19. Luego me vuelve a tirar.

• Cuántos rollos tengo que hacer para tener un 25% de probabilidad de alcanzar o exceder los 100?
• Cuántos rollos tengo que hacer para tener un 50% de probabilidad de alcanzar o exceder los 100?
• Cuántos rollos tengo que hacer para tener un 75% de probabilidad de alcanzar o exceder los 100?
• Cuántos rollos tengo que hacer para tener un 90% de probabilidad de alcanzar o exceder los 100?

Answer 1

(Escenario 1 dados):

Denotar $P(r,s)$ de probabilidad de obtener la suma de $s$ $r$ rollos.

Denotar $Q(r,s) = 1-\sum\limits_{q=1}^{s-1}P(r,q)$ $~$ probabilidad de obtener suma $\ge s$ $r$ rollos.

Obviamente: $$ P(1,1)=P(1,2)=\ldots=P(1,10)=0.1; $$

entonces $$ P(r,s) = \sum\limits_{q=s-10}^{m-1} P(r-1,q)\cdot 0.1 $$

(es decir, la suma de $s$ podemos obtener de "anterior" sumas $s-10$ o $s-9$, ..., o $s-1$).

Paso a paso, podemos llenar la tabla de probabilidades de $P(r,s)$.

Un par de conclusiones: $Q(16,100) = 1-\sum\limits_{q=1}^{99}P(16,q) \approx 0.159924$;
$Q(17,100) \approx 0.307628$;
$Q(18,100) \approx 0.483771$;
$Q(19,100) \approx 0.654096$;
$Q(20,100) \approx 0.791809$;
$Q(21,100) \approx 0.887108$;
$Q(22,100) \approx 0.944590$;
$Q(23,100) \approx 0.975252$.

Ahora usted puede elegir el más cercano de los valores:

$25 \%$: ~ 17 rollos;
$50 \%$: ~ 18 rollos;
$75 \%$: ~ 20 rollos;
$90 \%$: ~ 21 rollos.

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(Escenario con 2 dados):

Como dices son independientes, entonces todo lo que necesitamos es considerar incluso la cantidad de rollos, y dividirlas por $2$.

$Q_2(8,100) =Q(16,100) \approx 0.159924 (\approx 15.99 \%);$
$Q_2(9,100) =Q(18,100) \approx 0.483771 (\approx 48.38 \%);$
$Q_2(10,100)=Q(20,100) \approx 0.791809 (\approx 79.18 \%);$
$Q_2(11,100)=Q(22,100) \approx 0.944590 (\approx 94.46 \%).$