Pregunta sobre la desigualdad de las secuencias de

Question

Dado dos secuencia $(an){n \geq 0}$,$(bn){n \geq 0}$respeto$a_n,bn >0$% todo$n$y$\sum{n}an \gtrsim \sum{n}b_n$. ¿Mi pregunta es que: para una secuencia de$(cn){n \geq 0}$ ser positivos, tenemos la siguiente desigualdad?

$\sum_{n}a_ncn \gtrsim \sum{n}b_nc_n$

Answer 1

Deje $$a_n =\begin{cases} n &\ \text{if}\ n\ \text{is odd}\ n^{-3} &\ \text{if}\ n\ \text{is even}\ \end{casos}$$ $$b_n =\begin{cases} n^{-2} &\ \text{if}\ n\ \text{is odd}\ 1 &\ \text{if}\ n\ \text{is even}\ \end{casos}$$ $$c_n =\begin{cases} n^{-4} &\ \text{if}\ n\ \text{is odd}\ 1 &\ \text{if}\ n\ \text{is even}\ \end{casos}$$

Entonces $\sum_{n = 1}^Nan \sim N^2 \ge N \sim\sum{n = 1}^Nbn$,$\sum{n = 1}^Nb_ncn \sim N \gtrsim \sum{n = 1}^Nn^{-3} = \sum_{n = 1}^Na_nc_n$.

Answer 2

La respuesta es negativa. Considerar las tres secuencias: $$(a_n)= (1,0,0\ldots) \quad (b_n)=\left( 0, \frac12, 0\ldots \right)\quad (c_n)=\left(\frac{1}{4}, 1, \ast, \ast \ldots\right).$$ (Aquí se $\ast$ significa que cualquier número positivo). Usted tiene que $$\sum_n a_n=1>\frac12=\sum_n b_n,$$ pero $$\sum_n c_na_n=\frac14<\frac12=\sum_nc_nb_n.$$

P. S.: me di cuenta de que requieren $a_, b_n >0$, por lo que estrictamente hablando el presente ejemplo es descartado. Pero puede ser fijado fácilmente, en sustitución de los ceros con cualquier convergencia de la serie.